如图，已知直线 $y=-2x+4$分别交 $x$轴、 $y$轴于点 $A$、 $B$，抛物线过 $A$， $B$两点，点 $P$是线段 $\mathit{AB}$上一动点，过点 $P$作 $\mathit{PC}\perp x$轴于点 $C$，交抛物线于点 $D$．

（1）若抛物线的解析式为 $y=-2x^2+2x+4$，设其顶点为 $M$，其对称轴交 $\mathit{AB}$于点 $N$．

①求点 $M$、 $N$的坐标；

②是否存在点 $P$，使四边形 $\mathit{MNPD}$为菱形？并说明理由；

（2）当点 $P$的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以 $B$、 $P$、 $D$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta AOB}$相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

科目 数学   题型 解答题   难度 中等

知识点： 二次函数的性质 二次函数综合题