随着航母编队的成立，我国海军日益强大．2018年4月12日，-优题课

随着航母编队的成立，我国海军日益强大．2018年4月12日，中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵，在阅兵之前我军加强了海上巡逻，如图，我军巡逻舰在某海域航行到 $A$ 处时，该舰在观测点 $P$ 的南偏东 $45 °$ 的方向上，且与观测点 $P$ 的距离 $PA$ 为400海里；巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后，到达位于观测点 $P$ 的北偏东 $30 °$ 方向上的 $B$ 处，问此时巡逻舰与观测点 $P$ 的距离 $PB$ 为多少海里？（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ，结果精确到1海里）．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：解直角三角形的应用-方向角问题

如图，在某街道路边有相距 $10 m$ 、高度相同的两盏路灯（灯杆垂直地面），小明为了测量路灯的高度，在地面 $A$ 处测得路灯 $PQ$ 的顶端仰角为 $14 °$ ，向前行走 $25 m$ 到达 $B$ 处，在地面测得路灯 $MN$ 的顶端仰角为 $24.3 °$ ，已知点 $A$ ， $B$ ， $Q$ ， $N$ 在同一条直线上，请你利用所学知识帮助小明求出路灯的高度．（结果精确到 $0.1 m$ ．参考数据： $\sin 14 ° \approx 0.24$ ， $\cos 14 ° \approx 0.97$ ， $\tan 14 ° \approx 0.25$ ， $\sin 24.3 ° \approx 0.41$ ， $\cos 24.3 ° \approx 0.91$ ， $\tan 24.3 ° \approx 0.45)$

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ，点 $D$ 在 $AB$ 上，以 $AD$ 为直径的 $⊙ O$ 与边 $BC$ 相切于点 $E$ ，与边 $AC$ 相交于点 $G$ ，且 $\hat{AG} = \hat{EG}$ ，连接 $GO$ 并延长交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，连接 $BF$ ．

（1）求证：

① $AO = AG$ ．

② $BF$ 是 $⊙ O$ 的切线．

（2）若 $BD = 6$ ，求图形中阴影部分的面积．

甲、乙两同学的家与某科技馆的距离均为 $4000 m$ ．甲、乙两人同时从家出发去科技馆，甲同学先步行 $800 m$ ，然后乘公交车，乙同学骑自行车．已知乙骑自行车的速度是甲步行速度的4倍，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍，结果甲同学比乙同学晚到 $2.5 \min$ ．求乙到达科技馆时，甲离科技馆还有多远．

如图所示，甲、乙两人在玩转盘游戏时，分别把转盘 $A$ ， $B$ 分成3等份和4等份，并在每一份内标上数字．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所在区域的数字之积为奇数时，甲获胜；当数字之积为偶数时，乙获胜．如果指针恰好在分割线上时，则需重新转动转盘．

（1）利用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率．

（2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你在转盘 $A$ 上只修改一个数字使游戏公平（不需要说明理由）．

为纪念“五四运动”100周年，某校举行了征文比赛，该校学生全部参加了比赛．比赛设置一等、二等、三等三个奖项，赛后该校对学生获奖情况做了抽样调查，并将所得数据绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息解答下列问题：

（1）本次抽样调查学生的人数为　　．

（2）补全两个统计图，并求出扇形统计图中 $A$ 所对应扇形圆心角的度数．

（3）若该校共有840名学生，请根据抽样调查结果估计获得三等奖的人数．

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