如图，网格中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A，-优题课

题文

如图，网格中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 的坐标分别为 $A (- 2, 3)$ ， $B (- 5, 1)$ ， $C (- 3, 1)$ ．先将 $ΔABC$ 沿一个确定方向平移，得到△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ，点 $B$ 的对应点 $B_{1}$ 的坐标是 $(1, 2)$ ；再将△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ 绕原点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ ，得到△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ ，点 $A_{1}$ 的对应点为 $A_{2}$ ．

（1）画出△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并直接写出点 $A_{1}$ 的坐标；

（2）画出△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ ，并直接写出 $\cos B$ 的值．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：锐角三角函数的定义作图-平移变换作图-旋转变换

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（1）分解因式：
并把解集表示在数轴上。
（3）计算：

在研究勾股定理时，同学们都见到过图1，∠，四边形、、都是正方形.
⑴连结、得到图2，则△≌△，此时两个三角形全等的判定依据是
▲；过作⊥于，交于，则_△；同理_△，得，然后可证得勾股定理.
⑵在图1中，若将三个正方形“退化”为正三角形，得到图3，同学们可以探究△、△、△的面积关系是▲.
⑶为了研究问题的需要，将图1中的△也进行“退化”为锐角△，并擦去正方形得图4，由两边向三角形外作正△、正△，△的外接圆与交于点，此时、、共线，从△内一点到、、三个顶点的距离之和最小的点恰为点（已经被他人证明）.设＝3，＝4，.求的值.

如图1，在平面上，给定了半径为的⊙，对于任意点,在射线上取一点,使得·＝，这种把点变为点的变换叫做反演变换，点与点叫做互为反演点，⊙称为基圆.

⑴如图2，⊙内有不同的两点、，它们的反演点分别是、，则与∠一定相等的角是（▲）

⑵如图3，⊙内有一点，请用尺规作图画出点的反演点；（保留画图痕迹，不必写画法）.
⑶如果一个图形上各点经过反演变换得到的反演点组成另一个图形，那么这两个图形叫做互为反演图形．已知基圆的半径为，另一个半径为的⊙，作射线交⊙于点、，点、关于⊙的反演点分别是、，点为⊙上另一点，关于⊙的反演点为．求证：∠＝90°.