为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展-优题课

为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．

（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团 $B$ 的概率是　　．

（2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团 $D$ 的概率．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：概率公式列表法与树状图法

如图，抛物线 $y = {(x - 1)}^{2} + k$ 与 $x$ 轴相交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴相交于点 $C (0, - 3)$ ． $P$ 为抛物线上一点，横坐标为 $m$ ，且 $m > 0$ ．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）当点 $P$ 位于 $x$ 轴下方时，求 $ΔABP$ 面积的最大值；

（3）设此抛物线在点 $C$ 与点 $P$ 之间部分（含点 $C$ 和点 $P)$ 最高点与最低点的纵坐标之差为 $h$ ．

①求 $h$ 关于 $m$ 的函数解析式，并写出自变量 $m$ 的取值范围；

②当 $h = 9$ 时，直接写出 $ΔBCP$ 的面积．

如图，在矩形 $ABCD$ 中， $AD = 4 cm$ ， $AB = 3 cm$ ， $E$ 为边 $BC$ 上一点， $BE = AB$ ，连接 $AE$ ．动点 $P$ 、 $Q$ 从点 $A$ 同时出发，点 $P$ 以 $\sqrt{2} cm / s$ 的速度沿 $AE$ 向终点 $E$ 运动；点 $Q$ 以 $2 cm / s$ 的速度沿折线 $AD - DC$ 向终点 $C$ 运动．设点 $Q$ 运动的时间为 $x (s)$ ，在运动过程中，点 $P$ ，点 $Q$ 经过的路线与线段 $PQ$ 围成的图形面积为 $y (c m^{2})$ ．

（1） $AE =$ 　　 $cm$ ， $∠ EAD =$ 　　 $°$ ；

（2）求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；

（3）当 $PQ = \frac{5}{4} cm$ 时，直接写出 $x$ 的值．

性质探究

如图①，在等腰三角形 $ABC$ 中， $∠ ACB = 120 °$ ，则底边 $AB$ 与腰 $AC$ 的长度之比为　　．

理解运用

（1）若顶角为 $120 °$ 的等腰三角形的周长为 $8 + 4 \sqrt{3}$ ，则它的面积为　　；

（2）如图②，在四边形 $EFGH$ 中， $EF = EG = EH$ ．

①求证： $∠ EFG + ∠ EHG = ∠ FGH$ ；

②在边 $FG$ ， $GH$ 上分别取中点 $M$ ， $N$ ，连接 $MN$ ．若 $∠ FGH = 120 °$ ， $EF = 10$ ，直接写出线段 $MN$ 的长．

类比拓展

顶角为 $2 α$ 的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为　　（用含 $α$ 的式子表示）．

甲、乙两车分别从 $A$ ， $B$ 两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到 $B$ 地，乙车立即以原速原路返回到 $B$ 地．甲、乙两车距 $B$ 地的路程 $y (km)$ 与各自行驶的时间 $x (h)$ 之间的关系如图所示．

（1） $m =$ 　　， $n =$ 　　；

（2）求乙车距 $B$ 地的路程 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；

（3）当甲车到达 $B$ 地时，求乙车距 $B$ 地的路程．

某地区有城区居民和农村居民共80万人．某机构准备采用抽取样本的方法调查该地区居民“获取信息的最主要途径”．

（1）该机构设计了以下三种调查方案：

方案一：随机抽取部分城区居民进行调查；

方案二：随机抽取部分农村居民进行调查；

方案三：随机抽取部分城区居民和部分农村居民进行调查．

其中最具有代表性的一个方案是　　；

（2）该机构采用了最具有代表性的调查方案进行调查．供选择的选项有：电脑、手机、电视、广播、其他，共五个选项．每位被调查居民只选择一个选项．现根据调查结果绘制如下统计图，请根据统计图回答下列问题：

①这次接受调查的居民人数为　　人；

②统计图中人数最多的选项为　　；

③请你估计该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数．