在边长为2的等边三角形 $\mathit{ABC}$ 中， $P$ 是 $\mathit{BC}$ 边上任意一点，过点 $P$ 分别作 $\mathit{PM}\perp \mathit{AB}$ ， $\mathit{PN}\perp \mathit{AC}$ ， $M$ 、 $N$ 分别为垂足．

（1）求证：不论点 $P$ 在 $\mathit{BC}$ 边的何处时都有 $\mathit{PM}+\mathit{PN}$ 的长恰好等于三角形 $\mathit{ABC}$ 一边上的高；

（2）当 $\mathit{BP}$ 的长为何值时，四边形 $\mathit{AMPN}$ 的面积最大，并求出最大值．

科目 数学   题型 计算题   难度 较难

知识点： 二次函数的应用 等边三角形的性质