如图，在ΔABC中，∠A90°，AB3，AC4，点M，Q分别-优题课

如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $AB = 3$ ， $AC = 4$ ，点 $M$ ， $Q$ 分别是边 $AB$ ， $BC$ 上的动点（点 $M$ 不与 $A$ ， $B$ 重合），且 $MQ ⊥ BC$ ，过点 $M$ 作 $BC$ 的平行线 $MN$ ，交 $AC$ 于点 $N$ ，连接 $NQ$ ，设 $BQ$ 为 $x$ ．

（1）试说明不论 $x$ 为何值时，总有 $ΔQBM ∽ ΔABC$ ；

（2）是否存在一点 $Q$ ，使得四边形 $BMNQ$ 为平行四边形，试说明理由；

（3）当 $x$ 为何值时，四边形 $BMNQ$ 的面积最大，并求出最大值．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：平行四边形的判定相似三角形的判定与性质二次函数的应用

为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓．根据场调查，在草莓上市销售的30天中，其销售价格 $m$ （元 $/$ 公斤）与第 $x$ 天之间满足 $m = \{\begin{matrix} 3 x + 15 (1 ⩽ x ⩽ 15), \\ - x + 75 (15 < x ⩽ 30) \cdot \end{matrix} (x$ 为正整数），销售量 $n$ （公斤）与第 $x$ 天之间的函数关系如图所示：

如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元．

（1）求销售量 $n$ 与第 $x$ 天之间的函数关系式；

（2）求在草莓上市销售的30天中，每天的销售利润 $y$ 与第 $x$ 天之间的函数关系式；（日销售利润 $=$ 日销售额 $-$ 日维护费）

（3）求日销售利润 $y$ 的最大值及相应的 $x$ ．

如图，为了测量一栋楼的高度 $OE$ ，小明同学先在操场上 $A$ 处放一面镜子，向后退到 $B$ 处，恰好在镜子中看到楼的顶部 $E$ ；再将镜子放到 $C$ 处，然后后退到 $D$ 处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部 $E (O$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 在同一条直线上），测得 $AC = 2 m$ ， $BD = 2.1 m$ ，如果小明眼睛距地面髙度 $BF$ ， $DG$ 为 $1.6 m$ ，试确定楼的高度 $OE$ ．

已知锐角 $ΔABC$ 的外接圆圆心为 $O$ ，半径为 $R$ ．

（1）求证： $\frac{AC}{\sin B} = 2 R$ ；

（2）若 $ΔABC$ 中 $∠ A = 45 °$ ， $∠ B = 60 °$ ， $AC = \sqrt{3}$ ，求 $BC$ 的长及 $\sin C$ 的值．

高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以丰富知识、拓展视野、充实生活等诸多益处．为了解学生的课外阅读情况，某校随机抽查了部分学生阅读课外书册数的情况，并绘制出如下统计图，其中条形统计图因为破损丢失了阅读5册书数的数据．

（1）求条形图中丢失的数据，并写出阅读书册数的众数和中位数；

（2）根据随机抽查的这个结果，请估计该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数；

（3）若学校又补查了部分同学的课外阅读情况，得知这部分同学中课外阅读最少的是6册，将补查的情况与之前的数据合并后发现中位数并没有改变，试求最多补查了多少人？

如图，已知平行四边形 $ABCD$ 中， $AB = 5$ ， $BC = 3$ ， $AC = 2 \sqrt{13}$ ．

（1）求平行四边形 $ABCD$ 的面积；

（2）求证： $BD ⊥ BC$ ．

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