随着京沈客运专线即将开通，阜新将进入方便快捷的高铁时代，从我-优题课

随着京沈客运专线即将开通，阜新将进入方便快捷的“高铁时代”，从我市到 $A$ 市若乘坐普通列车，路程为 $650 km$ ，而乘坐高铁列车则为 $520 km$ ，高铁列车的平均速度是普通列车的4倍，乘坐高铁列车从我市到 $A$ 市所需时间比乘坐普通列车缩短 $8 h$ ．

（1）求高铁列车的平均速度；

（2）高铁开通后，从我市乘坐高铁列车到 $A$ 市需要多长时间？

科目数学题型解答题难度中等

知识点：分式方程的应用

如图，在菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 、 $BD$ 相交于点 $M$ ， $⊙ O$ 经过点 $B$ ， $C$ ，交对角线 $BD$ 于点 $E$ ，且 $\hat{CE} = \hat{BE}$ ，连接 $OE$ 交 $BC$ 于点 $F$ ．

（1）试判断 $AB$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $BD = \frac{32}{5} \sqrt{5}$ ， $\tan ∠ CBD = \frac{1}{2}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

阅读理解：

在平面直角坐标系中，点 $M$ 的坐标为 $(x_{1}$ ， $y_{1})$ ，点 $N$ 的坐标为 $(x_{2}$ ， $y_{2})$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ， $y_{1} \neq y_{2}$ ，若 $M$ 、 $N$ 为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为 $M$ 、 $N$ 的"相关矩形"．如图1中的矩形为点 $M$ 、 $N$ 的"相关矩形"．

（1）已知点 $A$ 的坐标为 $(2, 0)$ ．

①若点 $B$ 的坐标为 $(4, 4)$ ，则点 $A$ 、 $B$ 的"相关矩形"的周长为　　；

②若点 $C$ 在直线 $x = 4$ 上，且点 $A$ 、 $C$ 的"相关矩形"为正方形，求直线 $AC$ 的解析式；

（2）已知点 $P$ 的坐标为 $(3, - 4)$ ，点 $Q$ 的坐标为 $(6, - 2)$ 若使函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象与点 $P$ 、 $Q$ 的"相关矩形"有两个公共点，直接写出 $k$ 的取值．

为传承优秀传统文化，某地青少年活动中心计划分批次购进四大名著：《西游记》、《水浒传》、《三国演义》、《红楼梦》．第一次购进《西游记》50本，《水浒传》60本，共花费6600元；第二次购进《西游记》40本，《水浒传》30本，共花费4200元．

（1）求《西游记》和《水浒传》每本的售价分别是多少元；

（2）青少年活动中心决定再购买上述四种图书，总费用不超过32000元．如果《西游记》比《三国演义》每本售价多10元，《水浒传》比《红楼梦》每本售价少10元，要使先后购进的四大名著刚好配套（四大名著各一本为一套），那么这次最多购买《西游记》多少本？

某学校九年级有12个班，每班50名学生，为了调查该校九年级学生平均每天的睡眠时间，准备从12个班里抽取50名学生作为一个样本进行分析，并规定如下：设每个学生平均每天的睡眠时间为 $t$ （单位，小时），将收集到的学生平均每天睡眠时间按 $t ⩽ 6$ 、 $6 < t < 8$ 、 $t ⩾ 8$ 分为三类进行分析．

（1）下列抽取方法具有代表性的是　　．

$A$ ．随机抽取一个班的学生

$B$ ．从12个班中，随机抽取50名学生

$C$ ．随机抽取50名男生

$D$ ．随机抽取50名女生

（2）由上述具有代表性的抽取方法抽取50名学生，平均每天的睡眠时间数据如表：

睡眠时间 $t$ （小时）	5	5.5	6	6.5	7	7.5	8	8.5
人数（人 $)$	1	1	2	10	15	9	10	2

①这组数据的众数和中位数分别是　　，　　；

②估计九年级学生平均每天睡眼时间 $t ⩾ 8$ 的人数大约为多少；

（3）从样本中学生平均每天眠时间 $t ⩽ 6$ 的4个学生里，随机抽取2人，画树状图或列表，求抽得2人平均每天睡眠时间都是6小时的概率．

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ，点 $D$ 是斜边 $AB$ 上一点，且 $AC = AD$ ．

（1）作 $∠ BAC$ 的平分线，交 $BC$ 于点 $E$ ；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，连接 $DE$ ，求证： $DE ⊥ AB$ ．