如图，抛物线y−x2bxc的图象与x轴交于A(−5,0)，B-优题课

如图，抛物线 $y = - x^{2} + bx + c$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A (- 5, 0)$ ， $B (1, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线的对称轴与 $x$ 轴交于点 $D$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，点 $E (x, y)$ 为抛物线上一点，且 $- 5 < x < - 2$ ，过点 $E$ 作 $EF / / x$ 轴，交抛物线的对称轴于点 $F$ ，作 $EH ⊥ x$ 轴于点 $H$ ，得到矩形 $EHDF$ ，求矩形 $EHDF$ 周长的最大值；

（3）如图2，点 $P$ 为抛物线对称轴上一点，是否存在点 $P$ ，使以点 $P$ ， $A$ ， $C$ 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数的性质待定系数法求二次函数解析式二次函数综合题

如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 都是格点．

（1）画出 $ΔABC$ 关于直线 $BM$ 对称的△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

（2）写出 $A A_{1}$ 的长度．

如图1， $ΔABC$ 是边长为 $4 cm$ 的等边三角形，边 $AB$ 在射线 $OM$ 上，且 $OA = 6 cm$ ，点 $D$ 从 $O$ 点出发，沿 $OM$ 的方向以 $1 cm / s$ 的速度运动，当 $D$ 不与点 $A$ 重合时，将 $ΔACD$ 绕点 $C$ 逆时针方向旋转 $60 °$ 得到 $ΔBCE$ ，连接 $DE$ ．

（1）求证： $ΔCDE$ 是等边三角形；

（2）如图2，当 $6 < t < 10$ 时， $ΔBDE$ 的周长是否存在最小值？若存在，求出 $ΔBDE$ 的最小周长；若不存在，请说明理由；

（3）如图3，当点 $D$ 在射线 $OM$ 上运动时，是否存在以 $D$ 、 $E$ 、 $B$ 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + \frac{8}{5} x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $A (2, 0)$ ， $C (0, - 4)$ ，直线 $l : y = - \frac{1}{2} x - 4$ 与 $x$ 轴交于点 $D$ ，点 $P$ 是抛物线 $y = a x^{2} + \frac{8}{5} x + c$ 上的一动点，过点 $P$ 作 $PE ⊥ x$ 轴，垂足为 $E$ ，交直线 $l$ 于点 $F$ ．

（1）试求该抛物线表达式；

（2）如图（1），当点 $P$ 在第三象限，四边形 $PCOF$ 是平行四边形，求 $P$ 点的坐标；

（3）如图（2），过点 $P$ 作 $PH ⊥ y$ 轴，垂足为 $H$ ，连接 $AC$ ．

①求证： $ΔACD$ 是直角三角形；

②试问当 $P$ 点横坐标为何值时，使得以点 $P$ 、 $C$ 、 $H$ 为顶点的三角形与 $ΔACD$ 相似？

设 $a$ 、 $b$ 是任意两个实数，用 $\max {a$ ， $b}$ 表示 $a$ 、 $b$ 两数中较大者，例如： $\max {- 1$ ， $- 1} = - 1$ ， $\max {1$ ， $2} = 2$ ， $\max {4$ ， $3} = 4$ ，参照上面的材料，解答下列问题：

（1） $\max {5$ ， $2} =$ 　　， $\max {0$ ， $3} =$ 　　；

（2）若 $\max {3 x + 1$ ， $- x + 1} = - x + 1$ ，求 $x$ 的取值范围；

（3）求函数 $y = x^{2} - 2 x - 4$ 与 $y = - x + 2$ 的图象的交点坐标，函数 $y = x^{2} - 2 x - 4$ 的图象如图所示，请你在图中作出函数 $y = - x + 2$ 的图象，并根据图象直接写出 $\max {- x + 2$ ， $x^{2} - 2 x - 4}$ 的最小值．

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的弦， $BC$ 切 $⊙ O$ 于点 $B$ ， $AD ⊥ BC$ ，垂足为 $D$ ， $OA$ 是 $⊙ O$ 的半径，且 $OA = 3$ ．

（1）求证： $AB$ 平分 $∠ OAD$ ；

（2）若点 $E$ 是优弧 $\hat{AEB}$ 上一点，且 $∠ AEB = 60 °$ ，求扇形 $OAB$ 的面积．（计算结果保留 $π)$