如图，在平面直角坐标系中，直线y2x10与x轴，y轴相交于A-优题课

题文

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = - 2 x + 10$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴相交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $C$ 的坐标是 $(8, 4)$ ，连接 $AC$ ， $BC$ ．

（1）求过 $O$ ， $A$ ， $C$ 三点的抛物线的解析式，并判断 $ΔABC$ 的形状；

（2）动点 $P$ 从点 $O$ 出发，沿 $OB$ 以每秒2个单位长度的速度向点 $B$ 运动；同时，动点 $Q$ 从点 $B$ 出发，沿 $BC$ 以每秒1个单位长度的速度向点 $C$ 运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为 $t$ 秒，当 $t$ 为何值时， $PA = QA$ ？

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点 $M$ ，使以 $A$ ， $B$ ， $M$ 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

科目数学题型计算题难度较难

知识点：二次函数的性质待定系数法求二次函数解析式二次函数综合题

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解不等式组 $\{\begin{matrix} 5 x + 1 > 3 (x - 1) \\ \frac{1}{2} x - 1 ⩽ 7 - \frac{3}{2} x \end{matrix}$ ，并把它的解集在数轴上表示出来．

化简： $\frac{5 a + 3 b}{a^{2} - b^{2}} - \frac{2 a}{a^{2} - b^{2}}$ ．

已知点 $A (- 1, 1)$ 、 $B (4, 6)$ 在抛物线 $y = a x^{2} + bx$ 上，

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点 $F$ 的坐标为 $(0$ ， $m) (m > 2)$ ，直线 $AF$ 交抛物线于另一点 $G$ ，过点 $G$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $H$ ．设抛物线与 $x$ 轴的正半轴交于点 $E$ ，连接 $FH$ 、 $AE$ ，求证： $FH / / AE$ ；

（3）如图2，直线 $AB$ 分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于 $C$ 、 $D$ 两点．点 $P$ 从点 $C$ 出发，沿射线 $CD$ 方向匀速运动，速度为每秒 $\sqrt{2}$ 个单位长度；同时点 $Q$ 从原点 $O$ 出发，沿 $x$ 轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点 $M$ 是直线 $PQ$ 与抛物线的一个交点，当运动到 $t$ 秒时， $QM = 2 PM$ ，直接写出 $t$ 的值．

已知四边形 $ABCD$ 的一组对边 $AD$ 、 $BC$ 的延长线交于点 $E$ ．

（1）如图1，若 $∠ ABC = ∠ ADC = 90 °$ ，求证： $ED \cdot EA = EC \cdot EB$ ；

（2）如图2，若 $∠ ABC = 120 °$ ， $\cos ∠ ADC = \frac{3}{5}$ ， $CD = 5$ ， $AB = 12$ ， $ΔCDE$ 的面积为6，求四边形 $ABCD$ 的面积；

（3）如图3，另一组对边 $AB$ 、 $DC$ 的延长线相交于点 $F$ ．若 $\cos ∠ ABC = \cos ∠ ADC = \frac{3}{5}$ ， $CD = 5$ ， $CF = ED = n$ ，直接写出 $AD$ 的长（用含 $n$ 的式子表示）

如图，直线 $y = 2 x + 4$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象相交于 $A (- 3, a)$ 和 $B$ 两点

（1）求 $k$ 的值；

（2）直线 $y = m (m > 0)$ 与直线 $AB$ 相交于点 $M$ ，与反比例函数的图象相交于点 $N$ ．若 $MN = 4$ ，求 $m$ 的值；

（3）直接写出不等式 $\frac{6}{x - 5} > x$ 的解集．

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