如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bxc的顶点坐标为(-优题课

题文

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 的顶点坐标为 $(2, 9)$ ，与 $y$ 轴交于点 $A (0, 5)$ ，与 $x$ 轴交于点 $E$ 、 $B$ ．

（1）求二次函数 $y = a x^{2} + bx + c$ 的表达式；

（2）过点 $A$ 作 $AC$ 平行于 $x$ 轴，交抛物线于点 $C$ ，点 $P$ 为抛物线上的一点（点 $P$ 在 $AC$ 上方），作 $PD$ 平行于 $y$ 轴交 $AB$ 于点 $D$ ，问当点 $P$ 在何位置时，四边形 $APCD$ 的面积最大？并求出最大面积；

（3）若点 $M$ 在抛物线上，点 $N$ 在其对称轴上，使得以 $A$ 、 $E$ 、 $N$ 、 $M$ 为顶点的四边形是平行四边形，且 $AE$ 为其一边，求点 $M$ 、 $N$ 的坐标．

科目数学题型计算题难度中等

知识点：二次函数的性质待定系数法求二次函数解析式二次函数综合题

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化简： $\frac{5 a + 3 b}{a^{2} - b^{2}} - \frac{2 a}{a^{2} - b^{2}}$ ．

已知点 $A (- 1, 1)$ 、 $B (4, 6)$ 在抛物线 $y = a x^{2} + bx$ 上，

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点 $F$ 的坐标为 $(0$ ， $m) (m > 2)$ ，直线 $AF$ 交抛物线于另一点 $G$ ，过点 $G$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $H$ ．设抛物线与 $x$ 轴的正半轴交于点 $E$ ，连接 $FH$ 、 $AE$ ，求证： $FH / / AE$ ；

（3）如图2，直线 $AB$ 分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于 $C$ 、 $D$ 两点．点 $P$ 从点 $C$ 出发，沿射线 $CD$ 方向匀速运动，速度为每秒 $\sqrt{2}$ 个单位长度；同时点 $Q$ 从原点 $O$ 出发，沿 $x$ 轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点 $M$ 是直线 $PQ$ 与抛物线的一个交点，当运动到 $t$ 秒时， $QM = 2 PM$ ，直接写出 $t$ 的值．

已知四边形 $ABCD$ 的一组对边 $AD$ 、 $BC$ 的延长线交于点 $E$ ．

（1）如图1，若 $∠ ABC = ∠ ADC = 90 °$ ，求证： $ED \cdot EA = EC \cdot EB$ ；

（2）如图2，若 $∠ ABC = 120 °$ ， $\cos ∠ ADC = \frac{3}{5}$ ， $CD = 5$ ， $AB = 12$ ， $ΔCDE$ 的面积为6，求四边形 $ABCD$ 的面积；

（3）如图3，另一组对边 $AB$ 、 $DC$ 的延长线相交于点 $F$ ．若 $\cos ∠ ABC = \cos ∠ ADC = \frac{3}{5}$ ， $CD = 5$ ， $CF = ED = n$ ，直接写出 $AD$ 的长（用含 $n$ 的式子表示）

如图，直线 $y = 2 x + 4$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象相交于 $A (- 3, a)$ 和 $B$ 两点

（1）求 $k$ 的值；

（2）直线 $y = m (m > 0)$ 与直线 $AB$ 相交于点 $M$ ，与反比例函数的图象相交于点 $N$ ．若 $MN = 4$ ，求 $m$ 的值；

（3）直接写出不等式 $\frac{6}{x - 5} > x$ 的解集．

解方程： $4 x - 3 = 2 (x - 1)$

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