-优题课

某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区 $AC$ 的坡度 $i$ 为 $1 : 2$ ，顶端 $C$ 离水平地面 $AB$ 的高度为 $10 m$ ，从顶棚的 $D$ 处看 $E$ 处的仰角 $α = 18 ° 30'$ ，竖直的立杆上 $C$ 、 $D$ 两点间的距离为 $4 m$ ， $E$ 处到观众区底端 $A$ 处的水平距离 $AF$ 为 $3 m$ ．求：

（1）观众区的水平宽度 $AB$ ；

（2）顶棚的 $E$ 处离地面的高度 $EF$ ． $(\sin 18 ° 30' \approx 0.32$ ， $\tan l 8 ° 30' \approx 0.33$ ，结果精确到 $0.1 m)$

小明代表学校参加“我和我的祖国”主题宣传教育活动．该活动分为两个阶段，第一阶段有“歌曲演唱”、“书法展示”、“器乐独奏”3个项目（依次用 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 表示），第二阶段有“故事演讲”、“诗歌朗诵”2个项目（依次用 $D$ 、 $E$ 表示），参加人员在每个阶段各随机抽取一个项目完成．用画树状图或列表的方法列出小明参加项目的所有等可能的结果，并求小明恰好抽中 $B$ 、 $D$ 两个项目的概率．

（1）计算： $(\sqrt{8} - \sqrt{\frac{1}{2}}) \times \sqrt{6}$ ；

（2）解方程： $\frac{2 x - 5}{x - 2} + 3 = \frac{3 x - 3}{x - 2}$ ．

如图，抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 交 $x$ 轴于 $A$ 、 $B$ 两点，其中点 $A$ 坐标为 $(1, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0, - 3)$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图①，连接 $AC$ ，点 $P$ 在抛物线上，且满足 $∠ PAB = 2 ∠ ACO$ ．求点 $P$ 的坐标；

（3）如图②，点 $Q$ 为 $x$ 轴下方抛物线上任意一点，点 $D$ 是抛物线对称轴与 $x$ 轴的交点，直线 $AQ$ 、 $BQ$ 分别交抛物线的对称轴于点 $M$ 、 $N$ ．请问 $DM + DN$ 是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加 $x$ 元，每天售出 $y$ 件．

（1）请写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式；

（2）当 $x$ 为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？

（3）设超市每天销售这种玩具可获利 $w$ 元，当 $x$ 为多少时 $w$ 最大，最大值是多少？