如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y−312x-优题课

题文

如图1，在平面直角坐标系中， $O$ 是坐标原点，抛物线 $y = - \frac{\sqrt{3}}{12} x^{2} - \frac{\sqrt{3}}{3} x + 8 \sqrt{3}$ 与 $x$ 轴正半轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，连接 $AB$ ，点 $M$ ， $N$ 分别是 $OA$ ， $AB$ 的中点， $Rt Δ CDE ≅ Rt Δ ABO$ ，且 $ΔCDE$ 始终保持边 $ED$ 经过点 $M$ ，边 $CD$ 经过点 $N$ ，边 $DE$ 与 $y$ 轴交于点 $H$ ，边 $CD$ 与 $y$ 轴交于点 $G$ ．

（1）填空： $OA$ 的长是　， $∠ ABO$ 的度数是　　度；

（2）如图2，当 $DE / / AB$ ，连接 $HN$ ．

①求证：四边形 $AMHN$ 是平行四边形；

②判断点 $D$ 是否在该抛物线的对称轴上，并说明理由；

（3）如图3，当边 $CD$ 经过点 $O$ 时，（此时点 $O$ 与点 $G$ 重合），过点 $D$ 作 $DQ / / OB$ ，交 $AB$ 延长线上于点 $Q$ ，延长 $ED$ 到点 $K$ ，使 $DK = DN$ ，过点 $K$ 作 $KI / / OB$ ，在 $KI$ 上取一点 $P$ ，使得 $∠ PDK = 45 °$ （点 $P$ ， $Q$ 在直线 $ED$ 的同侧），连接 $PQ$ ，请直接写出 $PQ$ 的长．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数的性质平行四边形的判定与性质二次函数综合题

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将－2.5，，2，0，在数轴上表示出来，并用“＜”把他们连接起来

如图，抛物线y=x²+mx+n与直线y=-x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．

（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：
（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？

阅读资料：

如图1，在平面之间坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由勾股定理得AB²=|x₂-x₁|²+|y₂-y₁|²，所以A，B两点间的距离为AB=．
我们知道，圆可以看成到圆心距离等于半径的点的集合，如图2，在平面直角坐标系xoy中，A（x，y）为圆上任意一点，则A到原点的距离的平方为OA²=|x-0|²+|y-0|²，当⊙O的半径为r时，⊙O的方程可写为：x²+y²=r²．
问题拓展：如果圆心坐标为P（a，b），半径为r，那么⊙P的方程可以写为．
综合应用：
如图3，⊙P与x轴相切于原点O，P点坐标为（0，6），A是⊙P上一点，连接OA，使tan∠POA=，作PD⊥OA，垂足为D，延长PD交x轴于点B，连接AB．
①证明AB是⊙P的切点；
②是否存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q？若存在，求Q点坐标，并写出以Q为圆心，以OQ为半径的⊙O的方程；若不存在，说明理由．

如图，已知，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，E，F分别是CA，CB边的三等分点，将△ECF绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到△MCN，连接AM，BN．

（1）求证：AM=BN；
（2）当MA∥CN时，试求旋转角α的余弦值．

如图1所示，某乘客乘高速列车从甲地经过乙地到丙地，列车匀速行驶，图2为列车离乙地路程y（千米）与行驶时间x（小时）时间的函数关系图象．

（1）填空：甲、丙两地距离千米．
（2）求高速列车离乙地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．

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