小颖在学习两点之间线段最短查阅资料时发现：ΔABC内总存在一-优题课

小颖在学习“两点之间线段最短”查阅资料时发现： $ΔABC$ 内总存在一点 $P$ 与三个顶点的连线的夹角相等，此时该点到三个顶点的距离之和最小．

【特例】如图1，点 $P$ 为等边 $ΔABC$ 的中心，将 $ΔACP$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到 $ΔADE$ ，从而有 $DE = PC$ ，连接 $PD$ 得到 $PD = PA$ ，同时 $∠ APB + ∠ APD = 120 ° + 60 ° = 180 °$ ， $∠ ADP + ∠ ADE = 180 °$ ，即 $B$ 、 $P$ 、 $D$ 、 $E$ 四点共线，故 $PA + PB + PC = PD + PB + DE = BE$ ．在 $ΔABC$ 中，另取一点 $P'$ ，易知点 $P'$ 与三个顶点连线的夹角不相等，可证明 $B$ 、 $P'$ 、 $D'$ 、 $E$ 四点不共线，所以 $P' A + P' B + P' C > PA + PB + PC$ ，即点 $P$ 到三个顶点距离之和最小．

【探究】（1）如图2， $P$ 为 $ΔABC$ 内一点， $∠ APB = ∠ BPC = 120 °$ ，证明 $PA + PB + PC$ 的值最小；

【拓展】（2）如图3， $ΔABC$ 中， $AC = 6$ ， $BC = 8$ ， $∠ ACB = 30 °$ ，且点 $P$ 为 $ΔABC$ 内一点，求点 $P$ 到三个顶点的距离之和的最小值．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：旋转的性质全等三角形的判定与性质等边三角形的判定与性质

如图，已知 $⊙ O$ 的直径 $AB = 12$ ，弦 $AC = 10$ ， $D$ 是 $\hat{BC}$ 的中点，过点 $D$ 作 $DE ⊥ AC$ ，交 $AC$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）求证： $DE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）求 $AE$ 的长．

某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量 $y$ （单位：个）与销售单价 $x$ （单位：元）有如下关系： $y = - x + 60 (30 ⩽ x ⩽ 60)$ ．

设这种双肩包每天的销售利润为 $w$ 元．

（1）求 $w$ 与 $x$ 之间的函数解析式；

（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？

为了参加学校举行的传统文化知识竞赛，某班进行了四次模拟训练，将成绩优秀的人数和优秀率绘制成如下两个不完整的统计图：

请根据以上两图解答下列问题：

（1）该班总人数是　　；

（2）根据计算，请你补全两个统计图；

（3）观察补全后的统计图，写出一条你发现的结论．

如图1，矩形 $OABC$ 的顶点 $A$ ， $C$ 的坐标分别为 $(4, 0)$ ， $(0, 6)$ ，直线 $AD$ 交 $BC$ 于点 $D$ ， $\tan ∠ OAD = 2$ ，抛物线 $M_{1} : y = a x^{2} + bx (a \neq 0)$ 过 $A$ ， $D$ 两点．

（1）求点 $D$ 的坐标和抛物线 $M_{1}$ 的表达式；

（2）点 $P$ 是抛物线 $M_{1}$ 对称轴上一动点，当 $∠ CPA = 90 °$ 时，求所有符合条件的点 $P$ 的坐标；

（3）如图2，点 $E (0, 4)$ ，连接 $AE$ ，将抛物线 $M_{1}$ 的图象向下平移 $m (m > 0)$ 个单位得到抛物线 $M_{2}$ ．

①设点 $D$ 平移后的对应点为点 $D'$ ，当点 $D'$ 恰好在直线 $AE$ 上时，求 $m$ 的值；

②当 $1 ⩽ x ⩽ m (m > 1)$ 时，若抛物线 $M_{2}$ 与直线 $AE$ 有两个交点，求 $m$ 的取值范围．

某学习小组的学生在学习中遇到了下面的问题：

如图1，在 $ΔABC$ 和 $ΔADE$ 中， $∠ ACB = ∠ AED = 90 °$ ， $∠ CAB = ∠ EAD = 60 °$ ，点 $E$ ， $A$ ， $C$ 在同一条直线上，连接 $BD$ ，点 $F$ 是 $BD$ 的中点，连接 $EF$ ， $CF$ ，试判断 $ΔCEF$ 的形状并说明理由．

问题探究：

（1）小婷同学提出解题思路：先探究 $ΔCEF$ 的两条边是否相等，如 $EF = CF$ ，以下是她的证明过程

证明：延长线段 $EF$ 交 $CB$ 的延长线于点 $G$ ．

$∵ F$ 是 $BD$ 的中点，

$∴ BF = DF$ ．

$∵ ∠ ACB = ∠ AED = 90 °$ ，

$∴ ED / / CG$ ．

$∴ ∠ BGF = ∠ DEF$ ．

又 $∵ ∠ BFG = ∠ DFE$ ，

$∴ ΔBGF ≅ ΔDEF ($ 　 $AAS$ 　 $)$ ．

$∴ EF = FG$ ．

$∴ CF = EF = \frac{1}{2} EG$ ．

请根据以上证明过程，解答下列两个问题：

①在图1中作出证明中所描述的辅助线；

②在证明的括号中填写理由（请在 $SAS$ ， $ASA$ ， $AAS$ ， $SSS$ 中选择）．

（2）在（1）的探究结论的基础上，请你帮助小婷求出 $∠ CEF$ 的度数，并判断 $ΔCEF$ 的形状．

问题拓展：

（3）如图2，当 $ΔADE$ 绕点 $A$ 逆时针旋转某个角度时，连接 $CE$ ，延长 $DE$ 交 $BC$ 的延长线于点 $P$ ，其他条件不变，判断 $ΔCEF$ 的形状并给出证明．