如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于-优题课

如图，在 $▱ ABCD$ 中，以点 $A$ 为圆心， $AB$ 长为半径画弧交 $AD$ 于点 $F$ ，再分别以点 $B$ 、 $F$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} BF$ 的相同长为半径画弧，两弧交于点 $P$ ；连接 $AP$ 并延长交 $BC$ 于点 $E$ ，连接 $EF$ ，则所得四边形 $ABEF$ 是菱形．

（1）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形 $ABEF$ 是菱形；

（2）若菱形 $ABEF$ 的周长为16， $AE = 4 \sqrt{3}$ ，求 $∠ C$ 的大小．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：作图—基本作图平行四边形的性质解直角三角形菱形的判定与性质全等三角形的判定与性质角平分线的定义

如图，在 $△ ABC$ 中， $AB ＝ AC$ ，点D，E分别是AC和AB的中点．求证： $BD ＝ CE$ ．

如图，在直角坐标系中，四边形 $OABC$ 是平行四边形，经过 $A (- 2, 0)$ ， $B$ ， $C$ 三点的抛物线 $y = a x^{2} + bx + \frac{8}{3} (a < 0)$ 与 $x$ 轴的另一个交点为 $D$ ，其顶点为 $M$ ，对称轴与 $x$ 轴交于点 $E$ ．

（1）求这条抛物线对应的函数表达式；

（2）已知 $R$ 是抛物线上的点，使得 $ΔADR$ 的面积是 $▱ OABC$ 的面积的 $\frac{3}{4}$ ，求点 $R$ 的坐标；

（3）已知 $P$ 是抛物线对称轴上的点，满足在直线 $MD$ 上存在唯一的点 $Q$ ，使得 $∠ PQE = 45 °$ ，求点 $P$ 的坐标．

如图， $ΔABC$ 内接于 $⊙ O$ ， $AD$ 平分 $∠ BAC$ 交 $BC$ 边于点 $E$ ，交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，过点 $A$ 作 $AF ⊥ BC$ 于点 $F$ ，设 $⊙ O$ 的半径为 $R$ ， $AF = h$ ．

（1）过点 $D$ 作直线 $MN / / BC$ ，求证： $MN$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）求证： $AB \cdot AC = 2 R \cdot h$ ；

（3）设 $∠ BAC = 2 α$ ，求 $\frac{AB + AC}{AD}$ 的值（用含 $α$ 的代数式表示）．

如图，著名旅游景区 $B$ 位于大山深处，原来到此旅游需要绕行 $C$ 地，沿折线 $A \to C \to B$ 方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从 $A$ 地到景区 $B$ 的笔直公路．请结合 $∠ A = 45 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $BC = 100$ 千米， $\sqrt{2} \approx 1.4$ ， $\sqrt{3} \approx 1.7$ 等数据信息，解答下列问题：

（1）公路修建后，从 $A$ 地到景区 $B$ 旅游可以少走多少千米？

（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加 $25 %$ ，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？

如图，在直角坐标系中，直线 $y_{1} = ax + b$ 与双曲线 $y_{2} = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 分别相交于第二、四象限内的 $A (m, 4)$ ， $B (6, n)$ 两点，与 $x$ 轴相交于 $C$ 点．已知 $OC = 3$ ， $\tan ∠ ACO = \frac{2}{3}$ ．

（1）求 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 对应的函数表达式；

（2）求 $ΔAOB$ 的面积；

（3）直接写出当 $x < 0$ 时，不等式 $ax + b > \frac{k}{x}$ 的解集．

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