如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx1交y轴于点A，-优题课

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 1$ 交 $y$ 轴于点 $A$ ，交 $x$ 轴正半轴于点 $B (4, 0)$ ，与过 $A$ 点的直线相交于另一点 $D (3, \frac{5}{2})$ ，过点 $D$ 作 $DC ⊥ x$ 轴，垂足为 $C$ ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点 $P$ 在线段 $OC$ 上（不与点 $O$ 、 $C$ 重合），过 $P$ 作 $PN ⊥ x$ 轴，交直线 $AD$ 于 $M$ ，交抛物线于点 $N$ ，连接 $CM$ ，求 $ΔPCM$ 面积的最大值；

（3）若 $P$ 是 $x$ 轴正半轴上的一动点，设 $OP$ 的长为 $t$ ，是否存在 $t$ ，使以点 $M$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $N$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数的性质待定系数法求二次函数解析式二次函数综合题