已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，-优题课

已知：如图，在菱形 $ABCD$ 中，点 $E$ ， $O$ ， $F$ 分别为 $AB$ ， $AC$ ， $AD$ 的中点，连接 $CE$ ， $CF$ ， $OE$ ， $OF$ ．

（1）求证： $ΔBCE ≅ ΔDCF$ ；

（2）当 $AB$ 与 $BC$ 满足什么关系时，四边形 $AEOF$ 是正方形？请说明理由．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：菱形的性质全等三角形的判定与性质正方形的判定

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = BC$ ，以 $ΔABC$ 的边 $AB$ 为直径作 $⊙ O$ ，交 $AC$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $DE ⊥ BC$ ，垂足为点 $E$ ．

（1）试证明 $DE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $⊙ O$ 的半径为5， $AC = 6 \sqrt{10}$ ，求此时 $DE$ 的长．

如图，已知反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象与直线 $y = ax + b$ 相交于点 $A (- 2, 3)$ ， $B (1, m)$ ．

（1）求出直线 $y = ax + b$ 的表达式；

（2）在 $x$ 轴上有一点 $P$ 使得 $ΔPAB$ 的面积为18，求出点 $P$ 的坐标．

如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼 $AB$ 的高度进行测量，先测得居民楼 $AB$ 与 $CD$ 之间的距离 $AC$ 为 $35 m$ ，后站在 $M$ 点处测得居民楼 $CD$ 的顶端 $D$ 的仰角为 $45 °$ ，居民楼 $AB$ 的顶端 $B$ 的仰角为 $55 °$ ，已知居民楼 $CD$ 的高度为 $16.6 m$ ，小莹的观测点 $N$ 距地面 $1.6 m$ ．求居民楼 $AB$ 的高度（精确到 $1 m)$ ．（参考数据： $\sin 55 ° \approx 0.82$ ， $\cos 55 ° \approx 0.57$ ， $\tan 55 ° \approx l . 43)$ ．

如图，在 $▱ ABCD$ 中， $E$ 为 $BC$ 的中点，连接 $AE$ 并延长交 $DC$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $BF$ ， $AC$ ，若 $AD = AF$ ，求证：四边形 $ABFC$ 是矩形．

今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的 $A$ ， $B$ 两种树苗，每捆 $A$ 种树苗比每捆 $B$ 种树苗多10棵，每捆 $A$ 种树苗和每捆 $B$ 种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵 $A$ 种树苗和每棵 $B$ 种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．

（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？

（2）如果购进的这批树苗共5500棵， $A$ 种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进 $A$ 种树苗和 $B$ 种树苗各多少棵？并求出最低费用．

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