已知：RtΔEFP和矩形ABCD如图①摆放（点P与点B重合）-优题课

题文

已知： $Rt Δ EFP$ 和矩形 $ABCD$ 如图①摆放（点 $P$ 与点 $B$ 重合），点 $F$ ， $B (P)$ ， $C$ 在同一直线上， $AB = EF = 6 cm$ ， $BC = FP = 8 cm$ ， $∠ EFP = 90 °$ ．如图②， $ΔEFP$ 从图①的位置出发，沿 $BC$ 方向匀速运动，速度为 $1 cm / s$ ， $EP$ 与 $AB$ 交于点 $G$ ；同时，点 $Q$ 从点 $C$ 出发，沿 $CD$ 方向匀速运动，速度为 $1 cm / s$ ．过点 $Q$ 作 $QM ⊥ BD$ ，垂足为 $H$ ，交 $AD$ 于点 $M$ ，连接 $AF$ ， $PQ$ ，当点 $Q$ 停止运动时， $ΔEFP$ 也停止运动．设运动时间为 $t (s) (0 < t < 6)$ ，解答下列问题：

（1）当 $t$ 为何值时， $PQ / / BD$ ？

（2）设五边形 $AFPQM$ 的面积为 $y (c m^{2})$ ，求 $y$ 与 $t$ 之间的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$ ，使 $S_{五边形AFPQM} : S_{矩形ABCD} = 9 : 8$ ？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$ ，使点 $M$ 在线段 $PG$ 的垂直平分线上？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：平移的性质矩形的性质二次函数的应用四边形综合题

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如图，直线 $EF / / GH$ ，点 $A$ 在 $EF$ 上， $AC$ 交 $GH$ 于点 $B$ ，若 $∠ FAC = 72 °$ ， $∠ ACD = 58 °$ ，点 $D$ 在 $GH$ 上，求 $∠ BDC$ 的度数．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x^{2} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} x - \sqrt{3}$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，对称轴与 $x$ 轴交于点 $D$ ，点 $E (4, n)$ 在抛物线上．

（1）求直线 $AE$ 的解析式；

（2）点 $P$ 为直线 $CE$ 下方抛物线上的一点，连接 $PC$ ， $PE$ ．当 $ΔPCE$ 的面积最大时，连接 $CD$ ， $CB$ ，点 $K$ 是线段 $CB$ 的中点，点 $M$ 是 $CP$ 上的一点，点 $N$ 是 $CD$ 上的一点，求 $KM + MN + NK$ 的最小值；

（3）点 $G$ 是线段 $CE$ 的中点，将抛物线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x^{2} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} x - \sqrt{3}$ 沿 $x$ 轴正方向平移得到新抛物线 $y'$ ， $y'$ 经过点 $D$ ， $y'$ 的顶点为点 $F$ ．在新抛物线 $y'$ 的对称轴上，是否存在点 $Q$ ，使得 $ΔFGQ$ 为等腰三角形？若存在，直接写出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

对任意一个三位数 $n$ ，如果 $n$ 满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为 $F (n)$ ．例如 $n = 123$ ，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为 $213 + 321 + 132 = 666$ ， $666 \div 111 = 6$ ，所以 $F (123) = 6$ ．

（1）计算： $F (243)$ ， $F (617)$ ；

（2）若 $s$ ， $t$ 都是“相异数”，其中 $s = 100 x + 32$ ， $t = 150 + y (1 ⩽ x ⩽ 9$ ， $1 ⩽ y ⩽ 9$ ， $x$ ， $y$ 都是正整数），规定： $k = \frac{F (s)}{F (t)}$ ，当 $F (s) + F (t) = 18$ 时，求 $k$ 的最大值．

在 $ΔABM$ 中， $∠ ABM = 45 °$ ， $AM ⊥ BM$ ，垂足为 $M$ ，点 $C$ 是 $BM$ 延长线上一点，连接 $AC$ ．

（1）如图1，若 $AB = 3 \sqrt{2}$ ， $BC = 5$ ，求 $AC$ 的长；

（2）如图2，点 $D$ 是线段 $AM$ 上一点， $MD = MC$ ，点 $E$ 是 $ΔABC$ 外一点， $EC = AC$ ，连接 $ED$ 并延长交 $BC$ 于点 $F$ ，且点 $F$ 是线段 $BC$ 的中点，求证： $∠ BDF = ∠ CEF$ ．

某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．

（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？

（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元 $/$ 千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了 $m %$ ，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元 $/$ 千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了 $2 m %$ ，但销售均价比去年减少了 $m %$ ，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求 $m$ 的值．

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