如图1，抛物线yax2bx3交x轴于点A(1,0)和点B(3-优题课

如图1，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 3$ 交 $x$ 轴于点 $A (- 1, 0)$ 和点 $B (3, 0)$ ．

（1）求该抛物线所对应的函数解析式；

（2）如图2，该抛物线与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为 $F$ ，点 $D (2, 3)$ 在该抛物线上．

①求四边形 $ACFD$ 的面积；

②点 $P$ 是线段 $AB$ 上的动点（点 $P$ 不与点 $A$ 、 $B$ 重合），过点 $P$ 作 $PQ ⊥ x$ 轴交该抛物线于点 $Q$ ，连接 $AQ$ 、 $DQ$ ，当 $ΔAQD$ 是直角三角形时，求出所有满足条件的点 $Q$ 的坐标．

科目数学题型计算题难度较难

知识点：二次函数的性质待定系数法求二次函数解析式二次函数综合题

计算： $\sqrt{4} + {(\frac{1}{2})}^{- 1} - 2017^{0}$ ．

如图，已知二次函数 $y = \frac{4}{9} x^{2} - 4$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ， $⊙ C$ 的半径为 $\sqrt{5}$ ， $P$ 为 $⊙ C$ 上一动点．

（1）点 $B$ ， $C$ 的坐标分别为 $B ($ 　　 $)$ ， $C ($ 　　 $)$ ；

（2）是否存在点 $P$ ，使得 $ΔPBC$ 为直角三角形？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接 $PB$ ，若 $E$ 为 $PB$ 的中点，连接 $OE$ ，则 $OE$ 的最大值 $=$ 　　．

如图，将边长为6的正三角形纸片 $ABC$ 按如下顺序进行两次折叠，展平后，得折痕 $AD$ 、 $BE$ （如图①），点 $O$ 为其交点．

（1）探求 $AO$ 与 $OD$ 的数量关系，并说明理由；

（2）如图②，若 $P$ ， $N$ 分别为 $BE$ ， $BC$ 上的动点．

①当 $PN + PD$ 的长度取得最小值时，求 $BP$ 的长度；

②如图③，若点 $Q$ 在线段 $BO$ 上， $BQ = 1$ ，则 $QN + NP + PD$ 的最小值 $=$ 　　．

如图①，菱形 $ABCD$ 中， $AB = 5 cm$ ，动点 $P$ 从点 $B$ 出发，沿折线 $BC - CD - DA$ 运动到点 $A$ 停止，动点 $Q$ 从点 $A$ 出发，沿线段 $AB$ 运动到点 $B$ 停止，它们运动的速度相同，设点 $P$ 出发 $xs$ 时， $ΔBPQ$ 的面积为 $yc m^{2}$ ．已知 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系如图②所示，其中 $OM$ 、 $MN$ 为线段，曲线 $NK$ 为抛物线的一部分．请根据图中的信息，解答下列问题：

（1）当 $1 < x < 2$ 时， $ΔBPQ$ 的面积　　（填“变”或“不变” $)$ ；

（2）分别求出线段 $OM$ ，曲线 $NK$ 所对应的函数表达式；

（3）当 $x$ 为何值时， $ΔBPQ$ 的面积是 $5 c m^{2}$ ？

如图，已知 $AC ⊥ BC$ ，垂足为 $C$ ， $AC = 4$ ， $BC = 3 \sqrt{3}$ ，将线段 $AC$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转 $60 °$ ，得到线段 $AD$ ，连接 $DC$ ， $DB$ ．

（1）线段 $DC =$ 　　；

（2）求线段 $DB$ 的长度．

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