某批彩色弹力球的质量检验结果如下表：抽取的彩色弹力球数n50-优题课

题文

某批彩色弹力球的质量检验结果如下表：

抽取的彩色弹力球数 $n$	500	1000	1500	2000	2500
优等品频数 $m$	471	946	1426	1898	2370
优等品频率 $\frac{m}{n}$	0.942	0.946	0.951	0.949	0.948

（1）请在图中完成这批彩色弹力球“优等品”频率的折线统计图

（2）这批彩色弹力球“优等品”概率的估计值大约是多少？（精确到0.01）

（3）从这批彩色弹力球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除了颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率．

（4）现从第（3）问所说的袋子中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀，使从袋子中摸出一个黄球的概率为 $\frac{1}{4}$ ，求取出了多少个黑球？

科目数学题型计算题难度中等

知识点：用样本估计总体频数（率）分布表频数（率）分布折线图

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如图在平面直角坐标系中，直线 $y = - \frac{3}{4} x + 3$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $A$ 、 $B$ 两点，点 $P$ 、 $Q$ 同时从点 $A$ 出发，运动时间为 $t$ 秒．其中点 $P$ 沿射线 $AB$ 运动，速度为每秒4个单位长度，点 $Q$ 沿射线 $AO$ 运动，速度为每秒5个单位长度．以点 $Q$ 为圆心， $PQ$ 长为半径作 $⊙ Q$ ．

（1）求证：直线 $AB$ 是 $⊙ Q$ 的切线；

（2）过点 $A$ 左侧 $x$ 轴上的任意一点 $C (m, 0)$ ，作直线 $AB$ 的垂线 $CM$ ，垂足为 $M$ ．若 $CM$ 与 $⊙ Q$ 相切于点 $D$ ，求 $m$ 与 $t$ 的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，是否存在点 $C$ ，直线 $AB$ 、 $CM$ 、 $y$ 轴与 $⊙ Q$ 同时相切？若存在，请直接写出此时点 $C$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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（1）求日销售量 $y$ 与时间 $t$ 的函数关系式？

（2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？

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（1）求证：无论 $k$ 为何值，方程总有两个不相等实数根；

（2）已知函数 $y = x^{2} + (k - 5) x + 1 - k$ 的图象不经过第三象限，求 $k$ 的取值范围；

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如图，某数学活动小组为测量学校旗杆 $AB$ 的高度，沿旗杆正前方 $2 \sqrt{3}$ 米处的点 $C$ 出发，沿斜面坡度 $i = 1 : \sqrt{3}$ 的斜坡 $CD$ 前进 4 米到达点 $D$ ，在点 $D$ 处安置测角仪，测得旗杆顶部 $A$ 的仰角为 $37 °$ ，量得仪器的高 $DE$ 为 1.5 米．已知 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 在同一平面内， $AB ⊥ BC$ ， $AB / / DE$ ．求旗杆 $AB$ 的高度．（参考数据： $\sin 37 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $\cos 37 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $\tan 37 ° \approx \frac{3}{4}$ ．计算结果保留根号）

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