计算：243．-优题课

计算： ${(- 3)}^{2} + | - 4 | + \sqrt{12} - 4 \cos 30 °$ ．

直线 $y = - \frac{3}{2} x + 3$ 交 $x$ 轴于点 $A$ ，交 $y$ 轴于点 $B$ ，顶点为 $D$ 的抛物线 $y = - \frac{3}{4} x^{2} + 2 mx - 3 m$ 经过点 $A$ ，交 $x$ 轴于另一点 $C$ ，连接 $BD$ ， $AD$ ， $CD$ ，如图所示．

（1）直接写出抛物线的解析式和点 $A$ ， $C$ ， $D$ 的坐标；

（2）动点 $P$ 在 $BD$ 上以每秒2个单位长的速度由点 $B$ 向点 $D$ 运动，同时动点 $Q$ 在 $CA$ 上以每秒3个单位长的速度由点 $C$ 向点 $A$ 运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为 $t$ 秒． $PQ$ 交线段 $AD$ 于点 $E$ ．

①当 $∠ DPE = ∠ CAD$ 时，求 $t$ 的值；

②过点 $E$ 作 $EM ⊥ BD$ ，垂足为点 $M$ ，过点 $P$ 作 $PN ⊥ BD$ 交线段 $AB$ 或 $AD$ 于点 $N$ ，当 $PN = EM$ 时，求 $t$ 的值．

如图（1），已知点 $G$ 在正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 上， $GE ⊥ BC$ ，垂足为点 $E$ ， $GF ⊥ CD$ ，垂足为点 $F$ ．

（1）证明与推断：

①求证：四边形 $CEGF$ 是正方形；

②推断： $\frac{AG}{BE}$ 的值为　　

（2）探究与证明：

将正方形 $CEGF$ 绕点 $C$ 顺时针方向旋转 $α$ 角 $(0 ° < α < 45 °)$ ，如图（2）所示，试探究线段 $AG$ 与 $BE$ 之间的数量关系，并说明理由；

（3）拓展与运用：

正方形 $CEGF$ 在旋转过程中，当 $B$ ， $E$ ， $F$ 三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长 $CG$ 交 $AD$ 于点 $H$ ．若 $AG = 6$ ， $GH = 2 \sqrt{2}$ ，则 $BC =$ 　　．

襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第 $x$ 天的售价为 $y$ 元 $/$ 千克， $y$ 关于 $x$ 的函数解析式为：

$y = \{\begin{matrix} mx - 76 m (1 ⩽ x < 20, x 为正整数) \\ n (20 ⩽ x ⩽ 30, x 为正整数) \end{matrix}$ ，且第12天的售价为32元 $/$ 千克，第26天的售价为25元 $/$ 千克．已知种植销售蓝莓的成本是18元 $/$ 千克，每天的利润是 $W$ 元（利润 $=$ 销售收入 $-$ 成本）．

（1） $m =$ 　　， $n =$ 　　；

（2）求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？

（3）在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？

如图，已知双曲线 $y_{1} = \frac{k}{x}$ 与直线 $y_{2} = ax + b$ 交于点 $A (- 4, 1)$ 和点 $B (m, - 4)$ ．

（1）求双曲线和直线的解析式；

（2）直接写出线段 $AB$ 的长和 $y_{1} > y_{2}$ 时 $x$ 的取值范围．