问题背景：如图1，等腰ΔABC中，ABAC，∠BAC120°-优题课

题文

问题背景：如图1，等腰 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $∠ BAC = 120 °$ ，作 $AD ⊥ BC$ 于点 $D$ ，则 $D$ 为 $BC$ 的中点， $∠ BAD = \frac{1}{2} ∠ BAC = 60 °$ ，于是 $\frac{BC}{AB} = \frac{2 BD}{AB} = \sqrt{3}$ ；

迁移应用：如图2， $ΔABC$ 和 $ΔADE$ 都是等腰三角形， $∠ BAC = ∠ DAE = 120 °$ ， $D$ ， $E$ ， $C$ 三点在同一条直线上，连接 $BD$ ．

①求证： $ΔADB ≅ ΔAEC$ ；

②请直接写出线段 $AD$ ， $BD$ ， $CD$ 之间的等量关系式；

拓展延伸：如图3，在菱形 $ABCD$ 中， $∠ ABC = 120 °$ ，在 $∠ ABC$ 内作射线 $BM$ ，作点 $C$ 关于 $BM$ 的对称点 $E$ ，连接 $AE$ 并延长交 $BM$ 于点 $F$ ，连接 $CE$ ， $CF$ ．

①证明 $ΔCEF$ 是等边三角形；

②若 $AE = 5$ ， $CE = 2$ ，求 $BF$ 的长．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：解直角三角形全等三角形的判定与性质等腰三角形的性质等边三角形的判定与性质三角形综合题

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如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB=6，AC=3，求BE的长．

如图，平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-x+b（b为常数，b＞0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，半径为4的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方．

（1）若直线AB与有两个交点F、G．
①求∠CFE的度数；
②用含b的代数式表示FG²，并直接写出b的取值范围；
（2）设b≥5，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知：点B（3，3）在双曲线y=（x>0）上，点D在双曲线y=-（x<0）上，点A和点C分别在x轴，y轴的正半轴上，且点A，B，C，D构成的四边形为正方形．求：
（1）k的值；
（2）点A的坐标.

【阅读材料】己知，如图1，在面积为S的△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，内切⊙O的半径为r.连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形．
∵S=S_△OBC＋S_△OAC＋S_△OAB=BC·r＋AC·r＋AB·r=a·r＋b·r＋c·r=（a＋b＋c）r
∴
（1）【类比推理】如图2，若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r的值；
（2）【理解应用】如图3，在Rt△ABC中，内切圆O的半径为r，⊙O与△ABC分别相切于D、E和F，己知AD=3，BD=2，求r的值.

某同学报名参加学校运动会，有以下5个项目可供选择：
径赛项目:100m，200m，400m（分别用A₁、A₂、A₃表示）；
田赛项目：跳远，跳高（分别用B₁、B₂表示）.
（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为；
（2）该同学从5个项目中任选两个，利用树状图或列表列举出所有可能出现的结果，并求恰好是—个田赛项目和一个径赛项目的概率.

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