在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区-优题课

在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点 $B$ 垂直起飞到达点 $A$ 处，测得1号楼顶部 $E$ 的俯角为 $67 °$ ，测得2号楼顶部 $F$ 的俯角为 $40 °$ ，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且 $EC$ 和 $FD$ 分别垂直地面于点 $C$ 和 $D$ ，点 $B$ 为 $CD$ 的中点，求2号楼的高度．（结果精确到 $0.1)$

（参考数据 $\sin 40 ° \approx 0.64$ ， $\cos 40 ° \approx 0.77$ ， $\tan 40 ° \approx 0.84$ ， $\sin 67 ° \approx 0.92$ ， $\cos 67 ° \approx 0.39$ ， $\tan 67 ° \approx 2.36)$

科目数学题型解答题难度中等

知识点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题

如图，已知平行四边形 $OABC$ 中，点 $O$ 为坐标原点，点 $A (3, 0)$ ， $C (1, 2)$ ，函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象经过点 $C$ ．

（1）求 $k$ 的值及直线 $OB$ 的函数表达式：

（2）求四边形 $OABC$ 的周长．

如图，抛物线 $y = - \frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{3}{4}$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $C$ 两点（点 $A$ 在点 $C$ 的左边）．直线 $y = kx + b (k \neq 0)$ 分别交 $x$ 轴， $y$ 轴于 $A$ ， $B$ 两点，且除了点 $A$ 之外，该直线与抛物线没有其它任何交点．

（1）求 $A$ ， $C$ 两点的坐标；

（2）求 $k$ ， $b$ 的值；

（3）设点 $P$ 是抛物线上的动点，过点 $P$ 作直线 $kx + b (k \neq 0)$ 的垂线，垂足为 $H$ ，交抛物线的对称轴于点 $D$ ，求 $PH + DH$ 的最小值．并求出此时点 $P$ 的坐标．

如图，已知 $AO$ 为 $Rt Δ ABC$ 的角平分线， $∠ ACB = 90 °$ ， $\frac{AC}{BC} = \frac{4}{3}$ ，以 $O$ 为圆心， $OC$ 为半径的圆分别交 $AO$ ， $BC$ 于点 $D$ ， $E$ ，连接 $ED$ 并延长交 $AC$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $AB$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）求 $\tan ∠ CAO$ 的值；

（3）求 $\frac{AD}{CF}$ 的值．

如图，直线 $y = - x + 2$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象交于 $A (- 1, m)$ ， $B (n, - 1)$ 两点，过 $A$ 作 $AC ⊥ x$ 轴于点 $C$ ，过 $B$ 作 $BD ⊥ x$ 轴于点 $D$ ，

（1）求 $m$ ， $n$ 的值及反比例函数的解析式；

（2）请问：在直线 $y = - x + 2$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $S_{ΔPAC} = S_{ΔPBD}$ ？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在正方形 $ABCD$ 中， $E$ ， $F$ 分别为 $AD$ ， $CD$ 边上的点， $BE$ ， $AF$ 交于点 $O$ ，且 $AE = DF$ ．

（1）求证： $ΔABE ≅ ΔDAF$ ；

（2）若 $BO = 4$ ， $OE = 2$ ，求正方形 $ABCD$ 的面积．

试卷网试题网古诗词网作文网范文网