解不等式组x2⩾12(1x)<43x.．-优题课

已知函数 $y = - x^{2} + (m - 1) x + m (m$ 为常数）．

（1）该函数的图象与 $x$ 轴公共点的个数是　　．

$A . 0$ $B . 1$ $C . 2$ $D . 1$ 或2

（2）求证：不论 $m$ 为何值，该函数的图象的顶点都在函数 $y = {(x + 1)}^{2}$ 的图象上．

（3）当 $- 2 ⩽ m ⩽ 3$ 时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．

如图，港口 $B$ 位于港口 $A$ 的南偏东 $37 °$ 方向，灯塔 $C$ 恰好在 $AB$ 的中点处．一艘海轮位于港口 $A$ 的正南方向，港口 $B$ 的正西方向的 $D$ 处，它沿正北方向航行 $5 km$ 到达 $E$ 处，测得灯塔 $C$ 在北偏东 $45 °$ 方向上，这时， $E$ 处距离港口 $A$ 有多远？（参考数据： $\sin 37 ° \approx 0.60$ ， $\cos 37 ° \approx 0.80$ ， $\tan 37 ° \approx 0.75)$

解不等式组 $\{\begin{matrix} - 2 x ⩽ 6 ① \\ x > - 2 ② \\ 3 (x - 1) < x + 1 ③ \end{matrix}$

请结合题意，完成本题的解答．

（1）解不等式①，得　　，依据是：　　．

（2）解不等式③，得　　．

（3）把不等式①、②和③的解集在数轴上表示出来．

（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集　　．

计算 $(a + 2 + \frac{1}{a}) \div (a - \frac{1}{a})$ ．

问题呈现：

如图1，点 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 分别在矩形 $ABCD$ 的边 $AB$ 、 $BC$ 、 $CD$ 、 $DA$ 上， $AE = DG$ ，求证： $2 S_{四边形 EFGH} = S_{矩形 ABCD}$ ．（ $S$ 表示面积）

实验探究：

某数学实验小组发现：若图1中 $AH \neq BF$ ，点 $G$ 在 $CD$ 上移动时，上述结论会发生变化，分别过点 $E$ 、 $G$ 作 $BC$ 边的平行线，再分别过点 $F$ 、 $H$ 作 $AB$ 边的平行线，四条平行线分别相交于点 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 、 $C_{1}$ 、 $D_{1}$ ，得到矩形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ．

如图2，当 $AH > BF$ 时，若将点 $G$ 向点 $C$ 靠近 $(DG > AE)$ ，经过探索，发现： $2 S_{四边形 EFGH} = S_{矩形 ABCD} + S_{矩形 A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}}$ ．

如图3，当 $AH > BF$ 时，若将点 $G$ 向点 $D$ 靠近 $(DG < AE)$ ，请探索 $S_{四边形 EFGH}$ 、 $S_{矩形 ABCD}$ 与 $S_{矩形 A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}}$ 之间的数量关系，并说明理由．

迁移应用：

请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：

（1）如图4，点 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 分别是面积为25的正方形 $ABCD$ 各边上的点，已知 $AH > BF$ ， $AE > DG$ ， $S_{四边形 EFGH} = 11$ ， $HF = \sqrt{29}$ ，求 $EG$ 的长．

（2）如图5，在矩形 $ABCD$ 中， $AB = 3$ ， $AD = 5$ ，点 $E$ 、 $H$ 分别在边 $AB$ 、 $AD$ 上， $BE = 1$ ， $DH = 2$ ，点 $F$ 、 $G$ 分别是边 $BC$ 、 $CD$ 上的动点，且 $FG = \sqrt{10}$ ，连接 $EF$ 、 $HG$ ，请直接写出四边形 $EFGH$ 面积的最大值．