如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，与AC平-优题课

如图，已知 $AB$ 是圆 $O$ 的直径，弦 $CD ⊥ AB$ ，垂足为 $H$ ，与 $AC$ 平行的圆 $O$ 的一条切线交 $CD$ 的延长线于点 $M$ ，交 $AB$ 的延长线于点 $E$ ，切点为 $F$ ，连接 $AF$ 交 $CD$ 于点 $N$ ．

（1）求证： $CA = CN$ ；

（2）连接 $DF$ ，若 $\cos ∠ DFA = \frac{4}{5}$ ， $AN = 2 \sqrt{10}$ ，求圆 $O$ 的直径的长度．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆周角定理解直角三角形切线的性质

计算： $- (- 1) + 3^{2} \div (1 - 4) \times 2$ ．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线与 $x$ 轴交于 $(p, 0)$ ， $(q, 0)$ ，则该抛物线的解析式可以表示为：

$y = a (x - p) (x - q) = a x^{2} - a (p + q) x + apq$ ．

（1）若 $a = 1$ ，抛物线与 $x$ 轴交于 $(1, 0)$ ， $(5, 0)$ ，直接写出该抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）若 $a = - 1$ ，如图（1）， $A (- 1, 0)$ ， $B (3, 0)$ ，点 $M (m, 0)$ 在线段 $AB$ 上，抛物线 $C_{1}$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $M$ ，顶点为 $C$ ；抛物线 $C_{2}$ 与 $x$ 轴交于 $B$ ， $M$ ，顶点为 $D$ ．当 $A$ ， $C$ ， $D$ 三点在同一条直线上时，求 $m$ 的值；

（3）已知抛物线 $C_{3}$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1, 0)$ ， $B (3, 0)$ ，线段 $EF$ 的端点 $E (0, 3)$ ， $F (4, 3)$ ．若抛物线 $C_{3}$ 与线段 $EF$ 有公共点，结合图象，在图（2）中探究 $a$ 的取值范围．

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $AB = 6$ ， $OC ⊥ AB$ ， $OC = 5$ ， $BC$ 与 $⊙ O$ 交于点 $D$ ，点 $E$ 是 $\hat{BD}$ 的中点， $EF / / BC$ ，交 $OC$ 的延长线于点 $F$ ．

（1）求证： $EF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2） $CG / / OD$ ，交 $AB$ 于点 $G$ ，求 $CG$ 的长．

某水果市场销售一种香蕉．甲店的香蕉价格为4元 $/ kg$ ；乙店的香蕉价格为5元 $/ kg$ ，若一次购买 $6 kg$ 以上，超过 $6 kg$ 部分的价格打7折．

（1）设购买香蕉 $xkg$ ，付款金额 $y$ 元，分别就两店的付款金额写出 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式；

（2）到哪家店购买香蕉更省钱？请说明理由．

某校举行了主题为“防溺水，保安全”的知识竞赛活动．赛后随机抽取了50名参赛学生的成绩进行相关统计，整理得尚未完整的频数分布表和扇形统计图．现累计了40名参赛学生的成绩，余下10名参赛学生的成绩尚未累计，这10名学生成绩如下（单位：分） $: 75$ ，63，76，87，69，78，82，75，63，71．

频数分布表

组别	分数段	划记	频数
$A$	$60 < x ⩽ 70$	正
$B$	$70 < x ⩽ 80$	正正
$C$	$80 < x ⩽ 90$	正正正正
$D$	$90 < x ⩽ 100$	正

（1）在频数分布表中补全各组划记和频数；

（2）求扇形统计图中 $B$ 组所对应的圆心角的度数；

（3）该校有2000名学生参加此次知识竞赛，估计成绩在 $80 < x ⩽ 100$ 的学生有多少人？