如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，与AC平-优题课

如图，已知 $AB$ 是圆 $O$ 的直径，弦 $CD ⊥ AB$ ，垂足为 $H$ ，与 $AC$ 平行的圆 $O$ 的一条切线交 $CD$ 的延长线于点 $M$ ，交 $AB$ 的延长线于点 $E$ ，切点为 $F$ ，连接 $AF$ 交 $CD$ 于点 $N$ ．

（1）求证： $CA = CN$ ；

（2）连接 $DF$ ，若 $\cos ∠ DFA = \frac{4}{5}$ ， $AN = 2 \sqrt{10}$ ，求圆 $O$ 的直径的长度．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆周角定理解直角三角形切线的性质

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $AC$ 为弦， $∠ BA$ 的平分线交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 的切线交 $AC$ 的延长线于点 $E$ ．

求证：（1） $DE ⊥ AE$ ；

（2） $AE + CE = AB$ ．

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 5 x + 2 m = 0$ 有实数根．

（1）求 $m$ 的取值范围；

（2）当 $m = \frac{5}{2}$ 时，方程的两根分别是矩形的长和宽，求该矩形外接圆的直径．

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $AC = 3$ ， $BC = 4$ ， $D$ 、 $E$ 分别是斜边 $AB$ 、直角边 $BC$ 上的点，把 $ΔABC$ 沿着直线 $DE$ 折叠．

（1）如图1，当折叠后点 $B$ 和点 $A$ 重合时，用直尺和圆规作出直线 $DE$ ；（不写作法和证明，保留作图痕迹）

（2）如图2，当折叠后点 $B$ 落在 $AC$ 边上点 $P$ 处，且四边形 $PEBD$ 是菱形时，求折痕 $DE$ 的长．

某校举办“打造平安校园”活动，随机抽取了部分学生进行校园安全知识测试．将这些学生的测试结果分为四个等级： $A$ 级：优秀； $B$ 级：良好； $C$ 级：及格； $D$ 级：不及格，并将测试结果绘制成如下统计图．请你根据图中信息，解答下列问题：

（1）本次参加校园安全知识测试的学生有多少人？

（2）计算 $B$ 级所在扇形圆心角的度数，并补全折线统计图；

（3）若该校有学生1000名，请根据测试结果，估计该校达到及格和及格以上的学生共有多少人？

如图，在平面直角坐标系中，菱形 $ABCD$ 的边 $AB$ 在 $x$ 轴上，点 $B$ 坐标 $(- 3, 0)$ ，点 $C$ 在 $y$ 轴正半轴上，且 $\sin ∠ CBO = \frac{4}{5}$ ，点 $P$ 从原点 $O$ 出发，以每秒一个单位长度的速度沿 $x$ 轴正方向移动，移动时间为 $t (0 ⩽ t ⩽ 5)$ 秒，过点 $P$ 作平行于 $y$ 轴的直线 $l$ ，直线 $l$ 扫过四边形 $OCDA$ 的面积为 $S$ ．

（1）求点 $D$ 坐标．

（2）求 $S$ 关于 $t$ 的函数关系式．

（3）在直线 $l$ 移动过程中， $l$ 上是否存在一点 $Q$ ，使以 $B$ 、 $C$ 、 $Q$ 为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，直接写出 $Q$ 点的坐标；若不存在，请说明理由．

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