如图1，已知二次函数yax2bxc(a、b、c为常数，a≠0-优题课

如图1，已知二次函数 $y = a x^{2} + bx + c (a$ 、 $b$ 、 $c$ 为常数， $a \neq 0)$ 的图象过点 $O (0, 0)$ 和点 $A (4, 0)$ ，函数图象最低点 $M$ 的纵坐标为 $- \frac{8}{3}$ ，直线 $l$ 的解析式为 $y = x$ ．

（1）求二次函数的解析式；

（2）直线 $l$ 沿 $x$ 轴向右平移，得直线 $l'$ ， $l'$ 与线段 $OA$ 相交于点 $B$ ，与 $x$ 轴下方的抛物线相交于点 $C$ ，过点 $C$ 作 $CE ⊥ x$ 轴于点 $E$ ，把 $ΔBCE$ 沿直线 $l'$ 折叠，当点 $E$ 恰好落在抛物线上点 $E'$ 时（图 $2)$ ，求直线 $l'$ 的解析式；

（3）在（2）的条件下， $l'$ 与 $y$ 轴交于点 $N$ ，把 $ΔBON$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $135 °$ 得到△ $B' ON'$ ， $P$ 为 $l'$ 上的动点，当△ $PB' N'$ 为等腰三角形时，求符合条件的点 $P$ 的坐标．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数的性质待定系数法求二次函数解析式二次函数综合题

如图，在平面直角坐标系中， $ΔABC$ 各顶点的坐标分别为 $A (- 2, - 2)$ ， $B (- 4, - 1)$ ， $C (- 4, - 4)$ ．

（1）作出 $ΔABC$ 关于原点 $O$ 成中心对称的△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

（2）作出点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点 $A'$ ，若把点 $A'$ 向右平移 $a$ 个单位长度后落在△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ 的内部（不包括顶点和边界），求 $a$ 的取值范围．

如图1，已知 $▱ ABCD$ ， $AB / / x$ 轴， $AB = 6$ ，点 $A$ 的坐标为 $(1, - 4)$ ，点 $D$ 的坐标为 $(- 3, 4)$ ，点 $B$ 在第四象限，点 $P$ 是 $▱ ABCD$ 边上的一个动点．

（1）若点 $P$ 在边 $BC$ 上， $PD = CD$ ，求点 $P$ 的坐标．

（2）若点 $P$ 在边 $AB$ ， $AD$ 上，点 $P$ 关于坐标轴对称的点 $Q$ 落在直线 $y = x - 1$ 上，求点 $P$ 的坐标．

（3）若点 $P$ 在边 $AB$ ， $AD$ ， $CD$ 上，点 $G$ 是 $AD$ 与 $y$ 轴的交点，如图2，过点 $P$ 作 $y$ 轴的平行线 $PM$ ，过点 $G$ 作 $x$ 轴的平行线 $GM$ ，它们相交于点 $M$ ，将 $ΔPGM$ 沿直线 $PG$ 翻折，当点 $M$ 的对应点落在坐标轴上时，求点 $P$ 的坐标．（直接写出答案）

已知 $ΔABC$ ， $AB = AC$ ， $D$ 为直线 $BC$ 上一点， $E$ 为直线 $AC$ 上一点， $AD = AE$ ，设 $∠ BAD = α$ ， $∠ CDE = β$ ．

（1）如图，若点 $D$ 在线段 $BC$ 上，点 $E$ 在线段 $AC$ 上．

①如果 $∠ ABC = 60 °$ ， $∠ ADE = 70 °$ ，那么 $α =$ 　　 $°$ ， $β =$ 　　 $°$ ．

②求 $α$ ， $β$ 之间的关系式．

（2）是否存在不同于以上②中的 $α$ ， $β$ 之间的关系式？若存在，求出这个关系式（求出一个即可）；若不存在，说明理由．

定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．

（1）如图1，等腰直角四边形 $ABCD$ ， $AB = BC$ ， $∠ ABC = 90 °$ ，

①若 $AB = CD = 1$ ， $AB / / CD$ ，求对角线 $BD$ 的长．

②若 $AC ⊥ BD$ ，求证： $AD = CD$ ，

（2）如图2，在矩形 $ABCD$ 中， $AB = 5$ ， $BC = 9$ ，点 $P$ 是对角线 $BD$ 上一点，且 $BP = 2 PD$ ，过点 $P$ 作直线分别交边 $AD$ ， $BC$ 于点 $E$ ， $F$ ，使四边形 $ABFE$ 是等腰直角四边形，求 $AE$ 的长．

某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为 $50 m$ ．设饲养室长为 $x (m)$ ，占地面积为 $y (m^{2})$ ．

（1）如图1，问饲养室长 $x$ 为多少时，占地面积 $y$ 最大？

（2）如图2，现要求在图中所示位置留 $2 m$ 宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多 $2 m$ 就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．