已知△ABC，用直尺和圆规做下列图形：（保留作图痕迹并写出结-优题课

问题探究：

小红遇到这样一个问题：如图1， $ΔABC$ 中， $AB = 6$ ， $AC = 4$ ， $AD$ 是中线，求 $AD$ 的取值范围．她的做法是：延长 $AD$ 到 $E$ ，使 $DE = AD$ ，连接 $BE$ ，证明 $ΔBED ≅ ΔCAD$ ，经过推理和计算使问题得到解决．

请回答：（1）小红证明 $ΔBED ≅ ΔCAD$ 的判定定理是：　　；

（2） $AD$ 的取值范围是　　；

方法运用：

（3）如图2， $AD$ 是 $ΔABC$ 的中线，在 $AD$ 上取一点 $F$ ，连结 $BF$ 并延长交 $AC$ 于点 $E$ ，使 $AE = EF$ ，求证： $BF = AC$ ．

（4）如图3，在矩形 $ABCD$ 中， $\frac{AB}{BC} = \frac{1}{2}$ ，在 $BD$ 上取一点 $F$ ，以 $BF$ 为斜边作 $Rt Δ BEF$ ，且 $\frac{EF}{BE} = \frac{1}{2}$ ，点 $G$ 是 $DF$ 的中点，连接 $EG$ ， $CG$ ，求证： $EG = CG$ ．

小刚去超市购买画笔，第一次花60元买了若干支 $A$ 型画笔，第二次超市推荐了 $B$ 型画笔，但 $B$ 型画笔比 $A$ 型画笔的单价贵2元，他又花100元买了相同支数的 $B$ 型画笔．

（1）超市 $B$ 型画笔单价多少元？

（2）小刚使用两种画笔后，决定以后使用 $B$ 型画笔，但感觉其价格稍贵，和超市沟通后，超市给出以下优惠方案：一次购买不超过20支，则每支 $B$ 型画笔打九折；若一次购买超过20支，则前20支打九折，超过的部分打八折．设小刚购买的 $B$ 型画笔 $x$ 支，购买费用为 $y$ 元，请写出 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式．

（3）在（2）的优惠方案下，若小刚计划用270元购买 $B$ 型画笔，则能购买多少支 $B$ 型画笔？

如图，点 $C$ 在以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 上，点 $D$ 是半圆 $AB$ 的中点，连接 $AC$ ， $BC$ ， $AD$ ， $BD$ ．过点 $D$ 作 $DH / / AB$ 交 $CB$ 的延长线于点 $H$ ．

（1）求证：直线 $DH$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $AB = 10$ ， $BC = 6$ ，求 $AD$ ， $BH$ 的长．

如图，无人机在离地面60米的 $C$ 处，观测楼房顶部 $B$ 的俯角为 $30 °$ ，观测楼房底部 $A$ 的俯角为 $60 °$ ，求楼房的高度．

某校"校园主持人大赛"结束后，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图．部分信息如下：

（1）本次比赛参赛选手共有　　人，扇形统计图中" $79.5 ~ 89.5$ "这一范围的人数占总参赛人数的百分比为　　；

（2）补全图2频数直方图；

（3）赛前规定，成绩由高到低前 $40 %$ 的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为88分，试判断他能否获奖，并说明理由；

（4）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为该校文艺晚会的主持人，试求恰好选中1男1女为主持人的概率．