如图，某人为了测量小山顶上的塔的高，他在山下的点处测得塔尖点-优题课

如图，某人为了测量小山顶上的塔的高，他在山下的点处测得塔尖点的仰角为，再沿方向前进到达山脚点，测得塔尖点的仰角为，塔底点的仰角为，求塔的高度．（结果保留根号）

科目数学题型解答题难度中等

已知：如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $AB = 4$ ，点 $F$ ， $C$ 是 $⊙ O$ 上两点，连接 $AC$ ， $AF$ ， $OC$ ，弦 $AC$ 平分 $∠ FAB$ ， $∠ BOC = 60 °$ ，过点 $C$ 作 $CD ⊥ AF$ 交 $AF$ 的延长线于点 $D$ ，垂足为点 $D$ ．

（1）求扇形 $OBC$ 的面积（结果保留 $π)$ ；

（2）求证： $CD$ 是 $⊙ O$ 的切线．

为弘扬中华传统文化，我市某中学决定根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，因此学校随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：

（1）学校这次调查共抽取了　　名学生；

（2）补全条形统计图；

（3）在扇形统计图中，“戏曲”所在扇形的圆心角度数为　　；

（4）设该校共有学生2000名，请你估计该校有多少名学生喜欢书法？

某学校积极响应怀化市“三城同创”的号召，绿化校园，计划购进 $A$ ， $B$ 两种树苗，共21棵，已知 $A$ 种树苗每棵90元， $B$ 种树苗每棵70元．设购买 $A$ 种树苗 $x$ 棵，购买两种树苗所需费用为 $y$ 元．

（1）求 $y$ 与 $x$ 的函数表达式，其中 $0 ⩽ x ⩽ 21$ ；

（2）若购买 $B$ 种树苗的数量少于 $A$ 种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．

已知：如图，点 $A$ ， $F$ ， $E$ ， $C$ 在同一直线上， $AB / / DC$ ， $AB = CD$ ， $∠ B = ∠ D$ ．

（1）求证： $ΔABE ≅ ΔCDF$ ；

（2）若点 $E$ ， $G$ 分别为线段 $FC$ ， $FD$ 的中点，连接 $EG$ ，且 $EG = 5$ ，求 $AB$ 的长．

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $AC = BC = 4 cm$ ，动点 $P$ 从点 $C$ 出发以 $1 cm / s$ 的速度沿 $CA$ 匀速运动，同时动点 $Q$ 从点 $A$ 出发以 $\sqrt{2} cm / s$ 的速度沿 $AB$ 匀速运动，当点 $P$ 到达点 $A$ 时，点 $P$ 、 $Q$ 同时停止运动，设运动时间为 $t (s)$ ．

（1）当 $t$ 为何值时，点 $B$ 在线段 $PQ$ 的垂直平分线上？

（2）是否存在某一时刻 $t$ ，使 $ΔAPQ$ 是以 $PQ$ 为腰的等腰三角形？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由；

（3）以 $PC$ 为边，往 $CB$ 方向作正方形 $CPMN$ ，设四边形 $QNCP$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 关于 $t$ 的函数关系式．