如图，在直角三角形ABC中，∠ACB90°，点H是ΔABC的-优题课

如图，在直角三角形 $ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ，点 $H$ 是 $ΔABC$ 的内心，

$AH$ 的延长线和三角形 $ABC$ 的外接圆 $O$ 相交于点 $D$ ，连接 $DB$ ．

（1）求证： $DH = DB$ ；

（2）过点 $D$ 作 $BC$ 的平行线交 $AC$ 、 $AB$ 的延长线分别于点 $E$ 、 $F$ ，已知 $CE = 1$ ，圆 $O$ 的直径为5．

①求证： $EF$ 为圆 $O$ 的切线；

②求 $DF$ 的长．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：相似三角形的判定与性质三角形的外接圆与外心全等三角形的判定与性质切线的判定三角形的内切圆与内心

如图所示。设函数 $y ＝ x ＋ 4$ 的图象与 $y$ 轴交于 $A$ 点，函数 $y ＝ - 3 x - 6$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $B$ ，两个函数的图象交于点 $C$ ，求通过线段 $AB$ 的中点 $D$ 及 $C$ 点的一次函数解析式．

在 $2 ， 3$ 两个数之间，第一次写上 $\frac{2 ＋ 3}{1} ＝ 5$ ，第二次在 $2 ， 5$ 之间和 $5 ， 3$ 之间分别写上 $\frac{2 ＋ 5}{2} ＝ \frac{7}{2}$ 和 $\frac{5 ＋ 3}{2} ＝ 4$ ，如下所示：

第 $0$ 次操作： $2$ 　　　　　　　 $3$

第 $1$ 次操作： $2$ 　　　 $5$ 　　　　　 $3$

第 $2$ 次操作： $2$ 　　 $\frac{7}{2}$ 　　 $5$ 　　 $4$ 　 $3$

第 $3$ 次操作：…

第 $k$ 次操作是在上一次操作的基础上，在每两个相邻的数之间写上这两个数的和的 $\frac{1}{k}$ ．

（1）请写出第 $3$ 次操作后所得到的 $9$ 个数，并求出它们的和；

（2）经过 $k$ 次操作后所有数的和记为 $S_{k}$ ，第 $k ＋ 1$ 次操作后所有数的和记为 $S_{k ＋ 1}$ ，写出 $S_{k ＋ 1}$ 与 $S_{k}$ 之间的关系式；

（3）求 $S_{6}$ 的值．

点 $A ， B$ 分别在一次函数 $y ＝ x$ 与 $y ＝ 8 x$ 的图象上，其横坐标分别为 $a ， b (a ＞ 0 ， b ＞ 0)$ ，若直线 $AB$ 为一次函数 $y ＝ kx ＋ m$ 的图象，当 $\frac{b}{a}$ 是整数时，求满足条件的整数 $k$ 的值．

如图，已知直线 $y ＝ - x ＋ 2$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于点 $A$ 和点 $B$ ，另一直线 $y ＝ kx ＋ b （ k \neq 0 ）$ 经过 $C (1 ， 0)$ ，且把 $△ AOB$ 分成两部分．

（1）若 $△ AOB$ 被分成的两部分面积相等，求 $k$ 和 $b$ 的值；

（2）若 $△ AOB$ 被分成的刑部分的面积比为 $1 ∶ 5$ ，求 $k$ 和 $b$ 的值．

某造纸厂有甲和乙两个长方体蓄水池，将甲蓄水池中的水以每小时 $6 m^{3}$ 的速度注人乙蓄水池．甲、乙两个蓄水池中水的深度 $y (m)$ 与注水时间 $x (h)$ 的函数关系如图所示．结合图象回答下列问题：

（1）分别求出甲蓄水池和乙蓄水池中水的深度 $y (m)$ 与注水时间 $x (h)$ 之间的函数关系式（不必写出 $x$ 的取值范围）；

（2）求注水多长时间甲蓄水池和乙蓄水池中水的深度相同；

（3）求注水多长时间甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同．