如图，ΔABC中，ABAC，∠BAC90°，点D，E分别在A-优题课

如图， $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $∠ BAC = 90 °$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在 $AB$ ， $BC$ 上， $∠ EAD = ∠ EDA$ ，点 $F$ 为 $DE$ 的延长线与 $AC$ 的延长线的交点．

（1）求证： $DE = EF$ ；

（2）判断 $BD$ 和 $CF$ 的数量关系，并说明理由；

（3）若 $AB = 3$ ， $AE = \sqrt{5}$ ，求 $BD$ 的长．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：等腰三角形的判定与性质勾股定理三角形综合题

如图所示，一种适用于笔记本电脑的铝合金支架，边 $OA$ ， $OB$ 可绕点 $O$ 开合，在 $OB$ 边上有一固定点 $P$ ，支柱 $PQ$ 可绕点 $P$ 转动，边 $OA$ 上有六个卡孔，其中离点 $O$ 最近的卡孔为 $M$ ，离点 $O$ 最远的卡孔为 $N$ ．当支柱端点 $Q$ 放入不同卡孔内，支架的倾斜角发生变化．将电脑放在支架上，电脑台面的角度可达到六档调节，这样更有利于工作和身体健康，现测得 $OP$ 的长为 $12 cm$ ， $OM$ 为 $10 cm$ ，支柱 $PQ$ 为 $8 cm$ ．

（1）当支柱的端点 $Q$ 放在卡孔 $M$ 处时，求 $∠ AOB$ 的度数；

（2）当支柱的端点 $Q$ 放在卡孔 $N$ 处时， $∠ AOB = 20.5 °$ ，若相邻两个卡孔的距离相同，求此间距．（结果精确到十分位）

参考数据表

计算器按键顺序	计算结果（已取近似值）
	2.65
	6.8
	11.24
	0.35
	0.937
	41
	49
	49
	41

如图，在矩形 $ABCD$ 中， $CD = 2$ ， $AD = 4$ ，点 $P$ 在 $BC$ 上，将 $ΔABP$ 沿 $AP$ 折叠，点 $B$ 恰好落在对角线 $AC$ 上的 $E$ 点， $O$ 为 $AC$ 上一点， $⊙ O$ 经过点 $A$ ， $P$

（1）求证： $BC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）在边 $CB$ 上截取 $CF = CE$ ，点 $F$ 是线段 $BC$ 的黄金分割点吗？请说明理由．

亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作．某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．

（1）计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？

（2）若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？

十八大以来，某校已举办五届校园艺术节，为了弘扬中华优秀传统文化，每届艺术节上都有一些班级表演“经典诵读”“民乐演奏”、“歌曲联唱”、“民族舞蹈”等节目．小颖对每届艺术节表演这些节目的班级数进行统计，并绘制了如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图．

（1）五届艺术节共有　　个班级表演这些节目，班数的中位数为　　，在扇形统计图中，第四届班级数的扇形圆心角的度数为　　；

（2）补全折线统计图；

（3）第六届艺术节，某班决定从这四项艺术形式中任选两项表演 $($ “经典诵读”、“民乐演奏”、“歌曲联唱”、“民族舞蹈”分别用 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 表示），利用树状图或表格求出该班选择 $A$ 和 $D$ 两项的概率．

先化简 $(x + 3 - \frac{7}{x - 3}) \div \frac{2 x^{2} - 8 x}{x - 3}$ ，再从 $0 ⩽ x ⩽ 4$ 中选一个适合的整数代入求值．