如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=7.5$， $\mathit{AC}=9$， $S_{\mathit{\Delta ABC}}=\frac{81}{4}$．动点 $P$从 $A$点出发，沿 $\mathit{AB}$方向以每秒5个单位长度的速度向 $B$点匀速运动，动点 $Q$从 $C$点同时出发，以相同的速度沿 $\mathit{CA}$方向向 $A$点匀速运动，当点 $P$运动到 $B$点时， $P$、 $Q$两点同时停止运动，以 $\mathit{PQ}$为边作正 $\mathit{\Delta PQM}(P$、 $Q$、 $M$按逆时针排序），以 $\mathit{QC}$为边在 $\mathit{AC}$上方作正 $\mathit{\Delta QCN}$，设点 $P$运动时间为 $t$秒．

（1）求 $\cos A$的值；

（2）当 $\mathit{\Delta PQM}$与 $\mathit{\Delta QCN}$的面积满足 $S_{\mathit{\Delta PQM}}=\frac{9}{5}{S}_{\mathit{\Delta QCN}}$时，求 $t$的值；

（3）当 $t$为何值时， $\mathit{\Delta PQM}$的某个顶点 $(Q$点除外）落在 $\mathit{\Delta QCN}$的边上．

科目 数学   题型 解答题   难度 中等

知识点： 解直角三角形 等边三角形的性质 勾股定理 三角形综合题