如图1，在ΔABC中，∠A30°，点P从点A出发以2cm/s-优题课

如图1，在 $ΔABC$ 中， $∠ A = 30 °$ ，点 $P$ 从点 $A$ 出发以 $2 cm / s$ 的速度沿折线 $A - C - B$ 运动，点 $Q$ 从点 $A$ 出发以 $a (cm / s)$ 的速度沿 $AB$ 运动， $P$ ， $Q$ 两点同时出发，当某一点运动到点 $B$ 时，两点同时停止运动．设运动时间为 $x (s)$ ， $ΔAPQ$ 的面积为 $y (c m^{2})$ ， $y$ 关于 $x$ 的函数图象由 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 两段组成，如图2所示．

（1）求 $a$ 的值；

（2）求图2中图象 $C_{2}$ 段的函数表达式；

（3）当点 $P$ 运动到线段 $BC$ 上某一段时 $ΔAPQ$ 的面积，大于当点 $P$ 在线段 $AC$ 上任意一点时 $ΔAPQ$ 的面积，求 $x$ 的取值范围．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：二次函数的应用

目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了 $m$ 人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．

（1）根据图中信息求出 $m =$ 　　， $n =$ 　　；

（2）请你帮助他们将这两个统计图补全；

（3）根据抽样调查的结果，请估算全校2000名学生中，大约有多少人最认可“微信”这一新生事物？

（4）已知 $A$ 、 $B$ 两位同学都最认可“微信”， $C$ 同学最认可“支付宝”， $D$ 同学最认可“网购”．从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率．

如图， $CE$ 是 $⊙ O$ 的直径， $BC$ 切 $⊙ O$ 于点 $C$ ，连接 $OB$ ，作 $ED / / OB$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ， $BD$ 的延长线与 $CE$ 的延长线交于点 $A$ ．

（1）求证： $AB$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $⊙ O$ 的半径为1， $\tan ∠ DEO = \sqrt{2}$ ，求 $AE$ 的长．

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $A$ 是反比例函数 $y = \frac{m^{3} - m^{2}}{x} (x > 0, m > 1)$ 图象上一点，点 $A$ 的横坐标为 $m$ ，点 $B (0, - m)$ 是 $y$ 轴负半轴上的一点，连接 $AB$ ， $AC ⊥ AB$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ，延长 $CA$ 到点 $D$ ，使得 $AD = AC$ ，过点 $A$ 作 $AE$ 平行于 $x$ 轴，过点 $D$ 作 $y$ 轴平行线交 $AE$ 于点 $E$ ．

（1）当 $m = 3$ 时，求点 $A$ 的坐标；

（2） $DE =$ 　　，设点 $D$ 的坐标为 $(x, y)$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式和自变量的取值范围；

（3）连接 $BD$ ，过点 $A$ 作 $BD$ 的平行线，与（2）中的函数图象交于点 $F$ ，当 $m$ 为何值时，以 $A$ 、 $B$ 、 $D$ 、 $F$ 为顶点的四边形是平行四边形？

如图，在矩形 $ABCD$ 中， $AB = = 2$ ， $AD = \sqrt{3}$ ， $P$ 是 $BC$ 边上的一点，且 $BP = 2 CP$ ．

（1）用尺规在图①中作出 $CD$ 边上的中点 $E$ ，连接 $AE$ 、 $BE$ （保留作图痕迹，不写作法）；

（2）如图②，在（1）的条件下，判断 $EB$ 是否平分 $∠ AEC$ ，并说明理由；

（3）如图③，在（2）的条件下，连接 $EP$ 并延长交 $AB$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $AP$ ，不添加辅助线， $ΔPFB$ 能否由都经过 $P$ 点的两次变换与 $ΔPAE$ 组成一个等腰三角形？如果能，说明理由，并写出两种方法（指出对称轴、旋转中心、旋转方向和平移距离）

如图， $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径，且 $AB = 4$ ，点 $C$ 在半圆上， $OC ⊥ AB$ ，垂足为点 $O$ ， $P$ 为半圆上任意一点（不与点 $C$ 重合），过 $P$ 点作 $PE ⊥ OC$ 于点 $E$ ，设 $ΔOPE$ 的内心为 $M$ ，连接 $OM$ 、 $PM$ ．

（1）求 $∠ OMP$ 的度数；

（2）当点 $P$ 在半圆上从点 $B$ 运动到点 $A$ 时，求内心 $M$ 所经过的路径长．