问题背景

如图1，在正方形 $\mathit{ABCD}$的内部，作 $\angle \mathit{DAE}=\angle \mathit{ABF}=\angle \mathit{BCG}=\angle \mathit{CDH}$，根据三角形全等的条件，易得 $\mathit{\Delta DAE}\cong \mathit{\Delta ABF}\cong \mathit{\Delta BCG}\cong \mathit{\Delta CDH}$，从而得到四边形 $\mathit{EFGH}$是正方形．

类比探究

如图2，在正 $\mathit{\Delta ABC}$的内部，作 $\angle \mathit{BAD}=\angle \mathit{CBE}=\angle \mathit{ACF}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{BE}$， $\mathit{CF}$两两相交于 $D$， $E$， $F$三点 $(D$， $E$， $F$三点不重合）

（1） $\mathit{\Delta ABD}$， $\mathit{\Delta BCE}$， $\mathit{\Delta CAF}$是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．

（2） $\mathit{\Delta DEF}$是否为正三角形？请说明理由．

（3）进一步探究发现， $\mathit{\Delta ABD}$的三边存在一定的等量关系，设 $\mathit{BD}=a$， $\mathit{AD}=b$， $\mathit{AB}=c$，请探索 $a$， $b$， $c$满足的等量关系．

科目 数学   题型 解答题   难度 中等

知识点： 全等三角形的判定与性质 等边三角形的判定与性质 勾股定理