如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互-优题课

如图， $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为 $⊙ O$ 上一点， $AD$ 和过点 $C$ 的切线互相垂直，垂足为 $D$ ，且交 $⊙ O$ 于点 $E$ ．连接 $OC$ ， $BE$ ，相交于点 $F$ ．

（1）求证： $EF = BF$ ；

（2）若 $DC = 4$ ， $DE = 2$ ，求直径 $AB$ 的长．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：垂径定理切线的性质矩形的判定与性质

古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段 $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，延长 $AB$ 至点 $C$ ，使 $BC = OB$ ，点 $E$ 是线段 $OB$ 的中点， $DE ⊥ AB$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，点 $P$ 是 $⊙ O$ 上一动点（不与点 $A$ ， $B$ 重合），连接 $CD$ ， $PE$ ， $PC$ ．

（1）求证： $CD$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）小明在研究的过程中发现 $\frac{PE}{PC}$ 是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．

随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的 $A$ 型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少 $10 %$ ，求：

（1） $A$ 型自行车去年每辆售价多少元？

（2）该车行今年计划新进一批 $A$ 型车和新款 $B$ 型车共60辆，且 $B$ 型车的进货数量不超过 $A$ 型车数量的两倍．已知 $A$ 型车和 $B$ 型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划 $B$ 型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？

新学期，某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程．为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级： $A$ 级为优秀， $B$ 级为良好， $C$ 级为及格， $D$ 级为不及格．将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）本次抽样测试的学生人数是　　名；

（2）扇形统计图中表示 $A$ 级的扇形圆心角 $α$ 的度数是　　，并把条形统计图补充完整；

（3）该校八年级共有学生500名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为　　；

（4）某班有4名优秀的同学（分别记为 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ ，其中 $E$ 为小明），班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享．利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率．

规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度 $α (0 ° < α ⩽ 180 °)$ 后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度 $α$ 称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点 $O$ 旋转 $90 °$ 或 $180 °$ 后，能与自身重合（如图 $1)$ ，所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．

根据以上规定，回答问题：

（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是　　；

$A$ ．矩形

$B$ ．正五边形

$C$ ．菱形

$D$ ．正六边形

（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：　　（填序号）；

（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形．

其中真命题的个数有　　个；

$A$ ．0

$B$ ．1

$C$ ．2

$D$ ．3

（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有 $45 °$ ， $90 °$ ， $135 °$ ， $180 °$ ，将图形补充完整．

（1）计算 ${(- 2)}^{2} - | - \sqrt{2} | - 2 \cos 45 ° + {(2020 - π)}^{0}$ ；

（2）先化简，再求值： $(\frac{2}{a + 1} + \frac{a + 2}{a^{2} - 1}) \div \frac{a}{a - 1}$ ，其中 $a = \sqrt{5} - 1$ ．