【定义】如图1，A，B为直线l同侧的两点，过点A作直线l的对-优题课

【定义】如图1， $A$ ， $B$ 为直线 $l$ 同侧的两点，过点 $A$ 作直线 $l$ 的对称点 $A'$ ，连接 $A' B$ 交直线 $l$ 于点 $P$ ，连接 $AP$ ，则称点 $P$ 为点 $A$ ， $B$ 关于直线 $l$ 的“等角点”．

【运用】如图2，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知 $A (2, \sqrt{3})$ ， $B (- 2, - \sqrt{3})$ 两点．

（1） $C (4, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ， $D (4, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ， $E (4, \frac{1}{2})$ 三点中，点　 $C$ 　是点 $A$ ， $B$ 关于直线 $x = 4$ 的等角点；

（2）若直线 $l$ 垂直于 $x$ 轴，点 $P (m, n)$ 是点 $A$ ， $B$ 关于直线 $l$ 的等角点，其中 $m > 2$ ， $∠ APB = α$ ，求证： $\tan \frac{α}{2} = \frac{n}{2}$ ；

（3）若点 $P$ 是点 $A$ ， $B$ 关于直线 $y = ax + b (a \neq 0)$ 的等角点，且点 $P$ 位于直线 $AB$ 的右下方，当 $∠ APB = 60 °$ 时，求 $b$ 的取值范围（直接写出结果）．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：一次函数的性质解直角三角形一次函数综合题

如图1，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知 $ΔABC$ ， $∠ ABC = 90 °$ ，顶点 $A$ 在第一象限， $B$ ， $C$ 在 $x$ 轴的正半轴上 $(C$ 在 $B$ 的右侧）， $BC = 2$ ， $AB = 2 \sqrt{3}$ ， $ΔADC$ 与 $ΔABC$ 关于 $AC$ 所在的直线对称．

（1）当 $OB = 2$ 时，求点 $D$ 的坐标；

（2）若点 $A$ 和点 $D$ 在同一个反比例函数的图象上，求 $OB$ 的长；

（3）如图2，将（2）中的四边形 $ABCD$ 向右平移，记平移后的四边形为 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，过点 $D_{1}$ 的反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象与 $BA$ 的延长线交于点 $P$ ．问：在平移过程中，是否存在这样的 $k$ ，使得以点 $P$ ， $A_{1}$ ， $D$ 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的 $k$ 的值；若不存在，请说明理由．

已知在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ BAC = 90 °$ ， $AB ⩾ AC$ ， $D$ ， $E$ 分别为 $AC$ ， $BC$ 边上的点（不包括端点），且 $\frac{DC}{BE} = \frac{AC}{BC} = m$ ，连接 $AE$ ，过点 $D$ 作 $DM ⊥ AE$ ，垂足为点 $M$ ，延长 $DM$ 交 $AB$ 于点 $F$ ．

（1）如图1，过点 $E$ 作 $EH ⊥ AB$ 于点 $H$ ，连接 $DH$ ．

①求证：四边形 $DHEC$ 是平行四边形；

②若 $m = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求证： $AE = DF$ ；

（2）如图2，若 $m = \frac{3}{5}$ ，求 $\frac{DF}{AE}$ 的值．

“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境和提高果树产量，某果农计划从甲、乙两个仓库用汽车向 $A$ ， $B$ 两个果园运送有机化肥，甲、乙两个仓库分别可运出80吨和100吨有机化肥； $A$ ， $B$ 两个果园分别需用110吨和70吨有机化肥．两个仓库到 $A$ ， $B$ 两个果园的路程如表所示：

	路程（千米）
	甲仓库	乙仓库
$A$ 果园	15	25
$B$ 果园	20	20

设甲仓库运往 $A$ 果园 $x$ 吨有机化肥，若汽车每吨每千米的运费为2元，

（1）根据题意，填写下表．

	运量（吨 $)$		运费（元 $)$
	甲仓库	乙仓库	甲仓库	乙仓库
$A$ 果园	$x$	$110 - x$	$2 \times 15 x$	$2 \times 25 (110 - x)$
$B$ 果园

（2）设总运费为 $y$ 元，求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式，并求当甲仓库运往 $A$ 果园多少吨有机化肥时，总运费最省？最省的总运费是多少元？

如图，已知 $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ ， $D$ 是 $⊙ O$ 上的点， $OC / / BD$ ，交 $AD$ 于点 $E$ ，连接 $BC$ ．

（1）求证： $AE = ED$ ；

（2）若 $AB = 10$ ， $∠ CBD = 36 °$ ，求 $\hat{AC}$ 的长．

某校积极开展中学生社会实践活动，决定成立文明宣传、环境保护、交通监督三个志愿者队伍，每名学生最多选择一个队伍，为了了解学生的选择意向，随机抽取 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个班，共200名学生进行调查．将调查得到的数据进行整理，绘制成如下统计图（不完整）．

（1）求扇形统计图中交通监督所在扇形的圆心角度数；

（2）求 $D$ 班选择环境保护的学生人数，并补全折线统计图；

（3）若该校共有学生2500人，试估计该校选择文明宣传的学生人数．