如图，四边形ABCD是菱形，点H为对角线AC的中点，点E在A-优题课

如图，四边形 $ABCD$ 是菱形，点 $H$ 为对角线 $AC$ 的中点，点 $E$ 在 $AB$ 的延长线上， $CE ⊥ AB$ ，垂足为 $E$ ，点 $F$ 在 $AD$ 的延长线上， $CF ⊥ AD$ ，垂足为 $F$ ，

（1）若 $∠ BAD = 60 °$ ，求证：四边形 $CEHF$ 是菱形；

（2）若 $CE = 4$ ， $ΔACE$ 的面积为16，求菱形 $ABCD$ 的面积．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：相似三角形的判定与性质菱形的判定与性质角平分线的性质直角三角形的性质勾股定理

甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在 $O$ 点正上方 $1 m$ 的 $P$ 处发出一球，羽毛球飞行的高度 $y (m)$ 与水平距离 $x (m)$ 之间满足函数表达式 $y = a {(x - 4)}^{2} + h$ ，已知点 $O$ 与球网的水平距离为 $5 m$ ，球网的高度为 $1.55 m$ ．

（1）当 $a = - \frac{1}{24}$ 时，①求 $h$ 的值；②通过计算判断此球能否过网．

（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点 $O$ 的水平距离为 $7 m$ ，离地面的高度为 $\frac{12}{5} m$ 的 $Q$ 处时，乙扣球成功，求 $a$ 的值．

某校为了解学生体质情况，从各年级随机抽取部分学生进行体能测试，每个学生的测试成绩按标准对应为优秀、良好、及格、不及格四个等级，统计员在将测试数据绘制成图表时发现，优秀漏统计4人，良好漏统计6人，于是及时更正，从而形成如图图表，请按正确数据解答下列各题：

学生体能测试成绩各等次人数统计表

体能等级	调整前人数	调整后人数
优秀	8
良好	16
及格	12
不及格	4
合计	40

（1）填写统计表；

（2）根据调整后数据，补全条形统计图；

（3）若该校共有学生1500人，请你估算出该校体能测试等级为“优秀”的人数．

如图，在平面直角坐标系中， $ΔABC$ 各顶点的坐标分别为 $A (- 2, - 2)$ ， $B (- 4, - 1)$ ， $C (- 4, - 4)$ ．

（1）作出 $ΔABC$ 关于原点 $O$ 成中心对称的△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

（2）作出点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点 $A'$ ，若把点 $A'$ 向右平移 $a$ 个单位长度后落在△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ 的内部（不包括顶点和边界），求 $a$ 的取值范围．

如图1，已知 $▱ ABCD$ ， $AB / / x$ 轴， $AB = 6$ ，点 $A$ 的坐标为 $(1, - 4)$ ，点 $D$ 的坐标为 $(- 3, 4)$ ，点 $B$ 在第四象限，点 $P$ 是 $▱ ABCD$ 边上的一个动点．

（1）若点 $P$ 在边 $BC$ 上， $PD = CD$ ，求点 $P$ 的坐标．

（2）若点 $P$ 在边 $AB$ ， $AD$ 上，点 $P$ 关于坐标轴对称的点 $Q$ 落在直线 $y = x - 1$ 上，求点 $P$ 的坐标．

（3）若点 $P$ 在边 $AB$ ， $AD$ ， $CD$ 上，点 $G$ 是 $AD$ 与 $y$ 轴的交点，如图2，过点 $P$ 作 $y$ 轴的平行线 $PM$ ，过点 $G$ 作 $x$ 轴的平行线 $GM$ ，它们相交于点 $M$ ，将 $ΔPGM$ 沿直线 $PG$ 翻折，当点 $M$ 的对应点落在坐标轴上时，求点 $P$ 的坐标．（直接写出答案）

已知 $ΔABC$ ， $AB = AC$ ， $D$ 为直线 $BC$ 上一点， $E$ 为直线 $AC$ 上一点， $AD = AE$ ，设 $∠ BAD = α$ ， $∠ CDE = β$ ．

（1）如图，若点 $D$ 在线段 $BC$ 上，点 $E$ 在线段 $AC$ 上．

①如果 $∠ ABC = 60 °$ ， $∠ ADE = 70 °$ ，那么 $α =$ 　　 $°$ ， $β =$ 　　 $°$ ．

②求 $α$ ， $β$ 之间的关系式．

（2）是否存在不同于以上②中的 $α$ ， $β$ 之间的关系式？若存在，求出这个关系式（求出一个即可）；若不存在，说明理由．