我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而利用尺规作图三等分一-优题课

题文

我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具 $- -$ 三分角器．图1是它的示意图，其中 $AB$ 与半圆 $O$ 的直径 $BC$ 在同一直线上，且 $AB$ 的长度与半圆的半径相等； $DB$ 与 $AC$ 垂直于点 $B$ ， $DB$ 足够长．

使用方法如图2所示，若要把 $∠ MEN$ 三等分，只需适当放置三分角器，使 $DB$ 经过 $∠ MEN$ 的顶点 $E$ ，点 $A$ 落在边 $EM$ 上，半圆 $O$ 与另一边 $EN$ 恰好相切，切点为 $F$ ，则 $EB$ ， $EO$ 就把 $∠ MEN$ 三等分了．

为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．

已知：如图2，点 $A$ ， $B$ ， $O$ ， $C$ 在同一直线上， $EB ⊥ AC$ ，垂足为点 $B$ ，　　．

求证：　　．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：切线的性质全等三角形的判定与性质

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如图，已知 $AC$ 平分 $∠ BAD$ ， $AB = AD$ ．求证： $ΔABC ≅ ΔADC$ ．

如图：在平面直角坐标系中，直线 $l : y = \frac{1}{3} x - \frac{4}{3}$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，经过点 $A$ 的抛物线 $y = a x^{2} - 3 x + c$ 的对称轴是 $x = \frac{3}{2}$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）平移直线 $l$ 经过原点 $O$ ，得到直线 $m$ ，点 $P$ 是直线 $m$ 上任意一点， $PB ⊥ x$ 轴于点 $B$ ， $PC ⊥ y$ 轴于点 $C$ ，若点 $E$ 在线段 $OB$ 上，点 $F$ 在线段 $OC$ 的延长线上，连接 $PE$ ， $PF$ ，且 $PF = 3 PE$ ．求证： $PE ⊥ PF$ ；

（3）若（2）中的点 $P$ 坐标为 $(6, 2)$ ，点 $E$ 是 $x$ 轴上的点，点 $F$ 是 $y$ 轴上的点，当 $PE ⊥ PF$ 时，抛物线上是否存在点 $Q$ ，使四边形 $PEQF$ 是矩形？如果存在，请求出点 $Q$ 的坐标，如果不存在，请说明理由．

如图， $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 为 $⊙ O$ 上一点，将弧 $BC$ 沿直线 $BC$ 翻折，使弧 $BC$ 的中点 $D$ 恰好与圆心 $O$ 重合，连接 $OC$ ， $CD$ ， $BD$ ，过点 $C$ 的切线与线段 $BA$ 的延长线交于点 $P$ ，连接 $AD$ ，在 $PB$ 的另一侧作 $∠ MPB = ∠ ADC$ ．

（1）判断 $PM$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $PC = \sqrt{3}$ ，求四边形 $OCDB$ 的面积．

数学课上，李老师准备了四张背面看上去无差别的卡片 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ，每张卡片的正面标有字母 $a$ ， $b$ ， $c$ 表示三条线段（如图），把四张卡片背面朝上放在桌面上，李老师从这四张卡片中随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张．

（1）用树状图或者列表表示所有可能出现的结果；

（2）求抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率．

某公司计划购买 $A$ ， $B$ 两种型号的电脑，已知购买一台 $A$ 型电脑需0.6万元，购买一台 $B$ 型电脑需0.4万元，该公司准备投入资金 $y$ 万元，全部用于购进35台这两种型号的电脑，设购进 $A$ 型电脑 $x$ 台．

（1）求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式；

（2）若购进 $B$ 型电脑的数量不超过 $A$ 型电脑数量的2倍，则该公司至少需要投入资金多少万元？

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