在平面直角坐标系中，已知点A(1,2)，B(2,3)，C(2-优题课

题文

在平面直角坐标系中，已知点 $A (1, 2)$ ， $B (2, 3)$ ， $C (2, 1)$ ，直线 $y = x + m$ 经过点 $A$ ，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 1$ 恰好经过 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点中的两点．

（1）判断点 $B$ 是否在直线 $y = x + m$ 上，并说明理由；

（2）求 $a$ ， $b$ 的值；

（3）平移抛物线 $y = a x^{2} + bx + 1$ ，使其顶点仍在直线 $y = x + m$ 上，求平移后所得抛物线与 $y$ 轴交点纵坐标的最大值．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：二次函数的性质二次函数图象与几何变换待定系数法求二次函数解析式

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某食品加工厂需要一批食品包装盒，供应这种包装盒有两种方案可供选择：
方案1：从包装盒加工厂直接购买，购买所需的费用y₁与包装盒数x满足如图的函数关系。
方案2：租凭机器自己加工，所需费用y₂（包括租凭机器的费用和生产包装盒的费用）
与包装盒数满足如图的函数关系。

根据图象回答下列问题:
(1)方案1中每个包装盒的价格是多少元？
(2)方案2中租凭机器的费用是多少元？生产一个包装盒的费用是多少元？
(3)请分别求出y_1,y₂，与x的函数表达式
(4)如果你是决策者，你认为应该选择哪种方案更省钱？并说明理由。