如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥-优题课

如图，已知 $AC$ ， $BD$ 为 $⊙ O$ 的两条直径，连接 $AB$ ， $BC$ ， $OE ⊥ AB$ 于点 $E$ ，点 $F$ 是半径 $OC$ 的中点，连接 $EF$ ．

（1）设 $⊙ O$ 的半径为1，若 $∠ BAC = 30 °$ ，求线段 $EF$ 的长．

（2）连接 $BF$ ， $DF$ ，设 $OB$ 与 $EF$ 交于点 $P$ ，

①求证： $PE = PF$ ．

②若 $DF = EF$ ，求 $∠ BAC$ 的度数．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：圆周角定理平行四边形的判定与性质相似三角形的判定与性质等边三角形的判定与性质等腰直角三角形

某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量 $y$ （件 $)$ 是关于售价 $x$ （元 $/$ 件）的一次函数，如表仅列出了该商品的售价 $x$ ，周销售量 $y$ ，周销售利润 $W$ （元 $)$ 的三组对应值数据．

$x$	40	70	90
$y$	180	90	30
$W$	3600	4500	2100

（1）求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）若该商品进价 $a$ （元 $/$ 件），售价 $x$ 为多少时，周销售利润 $W$ 最大？并求出此时的最大利润；

（3）因疫情期间，该商品进价提高了 $m$ （元 $/$ 件） $(m > 0)$ ，公司为回馈消费者，规定该商品售价 $x$ 不得超过55（元 $/$ 件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求 $m$ 的值．

如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ BAC = 90 °$ ，点 $E$ 在 $BC$ 边上，过 $A$ ， $C$ ， $E$ 三点的 $⊙ O$ 交 $AB$ 边于另一点 $F$ ，且 $F$ 是 $\hat{AE}$ 的中点， $AD$ 是 $⊙ O$ 的一条直径，连接 $DE$ 并延长交 $AB$ 边于 $M$ 点．

（1）求证：四边形 $CDMF$ 为平行四边形；

（2）当 $CD = \frac{2}{5} AB$ 时，求 $\sin ∠ ACF$ 的值．

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 6 x + 2 m - 1 = 0$ 有 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 两实数根．

（1）若 $x_{1} = 1$ ，求 $x_{2}$ 及 $m$ 的值；

（2）是否存在实数 $m$ ，满足 $(x_{1} - 1) (x_{2} - 1) = \frac{6}{m - 5}$ ？若存在，求出实数 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

某海域有一小岛 $P$ ，在以 $P$ 为圆心，半径 $r$ 为 $10 (3 + \sqrt{3})$ 海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在 $A$ 处测得小岛 $P$ 位于北偏东 $60 °$ 的方向上，当海监船行驶 $20 \sqrt{2}$ 海里后到达 $B$ 处，此时观测小岛 $P$ 位于 $B$ 处北偏东 $45 °$ 方向上．

（1）求 $A$ ， $P$ 之间的距离 $AP$ ；

（2）若海监船由 $B$ 处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由 $B$ 处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？

如图，点 $E$ 是正方形 $ABCD$ 的边 $BC$ 上的动点， $∠ AEF = 90 °$ ，且 $EF = AE$ ， $FH ⊥ BH$ ．

（1）求证： $BE = CH$ ；

（2）若 $AB = 3$ ， $BE = x$ ，用 $x$ 表示 $DF$ 的长．