用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图 $1)$．

科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为 $H$（单位： $\mathit{cm})$，如果在离水面竖直距离为 $h$（单位： $\mathit{cm})$的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离） $s$（单位： $\mathit{cm})$与 $h$的关系式为 $s^2=4h(H-h)$．

应用思考：现用高度为 $20\mathit{cm}$的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离 $\mathit{hcm}$处开一个小孔．

（1）写出 $s^2$与 $h$的关系式；并求出当 $h$为何值时，射程 $s$有最大值，最大射程是多少？

（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为 $a$， $b$，要使两孔射出水的射程相同，求 $a$， $b$之间的关系式；

（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加 $16\mathit{cm}$，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难

知识点： 二次函数的应用