如图，抛物线的顶点为A(h,1)，与y轴交于点B(0,12)-优题课

如图，抛物线的顶点为 $A (h, - 1)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B (0, - \frac{1}{2})$ ，点 $F (2, 1)$ 为其对称轴上的一个定点．

（1）求这条抛物线的函数解析式；

（2）已知直线 $l$ 是过点 $C (0, - 3)$ 且垂直于 $y$ 轴的定直线，若抛物线上的任意一点 $P (m, n)$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$ ，求证： $PF = d$ ；

（3）已知坐标平面内的点 $D (4, 3)$ ，请在抛物线上找一点 $Q$ ，使 $ΔDFQ$ 的周长最小，并求此时 $ΔDFQ$ 周长的最小值及点 $Q$ 的坐标．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数的性质垂线段最短待定系数法求二次函数解析式二次函数综合题

如图，在平面直角坐标系中，直线 $AB$ 与抛物线 $y = - x^{2} + bx + c$ 交于 $A (- 1, 0)$ 和 $B (2, 3)$ 两点，抛物线与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求一次函数和二次函数的解析式；

（2）求 $ΔABC$ 的面积．

如图，抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 的对称轴为直线 $x = 2$ ，抛物线与 $x$ 轴交于点 $A$ 和点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且点 $A$ 的坐标为 $(- 1, 0)$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）将抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 图象 $x$ 轴下方部分沿 $x$ 轴向上翻折，保留抛物线在 $x$ 轴上的点和 $x$ 轴上方图象，得到的新图象与直线 $y = t$ 恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为 $D$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ ．当以 $EF$ 为直径的圆过点 $Q (2, 1)$ 时，求 $t$ 的值；

（3）在抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 上，当 $m ⩽ x ⩽ n$ 时， $y$ 的取值范围是 $m ⩽ y ⩽ 7$ ，请直接写出 $x$ 的取值范围．

如图， $⊙ O$ 是 $ΔABC$ 的外接圆， $AB$ 是直径， $D$ 是 $AC$ 中点，直线 $OD$ 与 $⊙ O$ 相交于 $E$ ， $F$ 两点， $P$ 是 $⊙ O$ 外一点， $P$ 在直线 $OD$ 上，连接 $PA$ ， $PC$ ， $AF$ ，且满足 $∠ PCA = ∠ ABC$ ．

（1）求证： $PA$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）证明： $E F^{2} = 4 OD \cdot OP$ ；

（3）若 $BC = 8$ ， $\tan ∠ AFP = \frac{2}{3}$ ，求 $DE$ 的长．

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ A = 90 °$ ． $AB = 8 cm$ ， $AC = 6 cm$ ，若动点 $D$ 从 $B$ 出发，沿线段 $BA$ 运动到点 $A$ 为止（不考虑 $D$ 与 $B$ ， $A$ 重合的情况），运动速度为 $2 cm / s$ ，过点 $D$ 作 $DE / / BC$ 交 $AC$ 于点 $E$ ，连接 $BE$ ，设动点 $D$ 运动的时间为 $x (s)$ ， $AE$ 的长为 $y (cm)$ ．

（1）求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；

（2）当 $x$ 为何值时， $ΔBDE$ 的面积 $S$ 有最大值？最大值为多少？

如图，在矩形 $ABCD$ 中， $AB = 3$ ， $BC = 4$ ． $M$ 、 $N$ 在对角线 $AC$ 上，且 $AM = CN$ ， $E$ 、 $F$ 分别是 $AD$ 、 $BC$ 的中点．

（1）求证： $ΔABM ≅ ΔCDN$ ；

（2）点 $G$ 是对角线 $AC$ 上的点， $∠ EGF = 90 °$ ，求 $AG$ 的长．

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