如图，抛物线yx2bxc的对称轴为直线x2，抛物线与x轴交于-优题课

如图，抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 的对称轴为直线 $x = 2$ ，抛物线与 $x$ 轴交于点 $A$ 和点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且点 $A$ 的坐标为 $(- 1, 0)$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）将抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 图象 $x$ 轴下方部分沿 $x$ 轴向上翻折，保留抛物线在 $x$ 轴上的点和 $x$ 轴上方图象，得到的新图象与直线 $y = t$ 恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为 $D$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ ．当以 $EF$ 为直径的圆过点 $Q (2, 1)$ 时，求 $t$ 的值；

（3）在抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 上，当 $m ⩽ x ⩽ n$ 时， $y$ 的取值范围是 $m ⩽ y ⩽ 7$ ，请直接写出 $x$ 的取值范围．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数的性质二次函数图象与几何变换待定系数法求二次函数解析式二次函数综合题

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，以直线 $x = \frac{5}{2}$ 对称轴的抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 与直线 $l : y = kx + m (k > 0)$ 交于 $A (1, 1)$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C (0, 5)$ ，直线 $l$ 与 $y$ 轴交于点 $D$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设直线 $l$ 与抛物线的对称轴的交点为 $F$ ， $G$ 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若 $\frac{AF}{FB} = \frac{3}{4}$ ，且 $ΔBCG$ 与 $ΔBCD$ 面积相等，求点 $G$ 的坐标；

（3）若在 $x$ 轴上有且仅有一点 $P$ ，使 $∠ APB = 90 °$ ，求 $k$ 的值．

在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $AB = \sqrt{7}$ ， $AC = 2$ ，过点 $B$ 作直线 $m / / AC$ ，将 $ΔABC$ 绕点 $C$ 顺时针旋转得到△ $A' B' C$ （点 $A$ ， $B$ 的对应点分别为 $A^{'}$ ， $B')$ ，射线 $CA'$ ， $CB'$ 分别交直线 $m$ 于点 $P$ ， $Q$ ．

（1）如图1，当 $P$ 与 $A'$ 重合时，求 $∠ ACA'$ 的度数；

（2）如图2，设 $A' B'$ 与 $BC$ 的交点为 $M$ ，当 $M$ 为 $A' B'$ 的中点时，求线段 $PQ$ 的长；

（3）在旋转过程中，当点 $P$ ， $Q$ 分别在 $CA'$ ， $CB'$ 的延长线上时，试探究四边形 $P A^{'} B' Q$ 的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形 $PA' B' Q$ 的最小面积；若不存在，请说明理由．

为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉，经市场调查，甲种花卉的种植费用 $y$ （元 $)$ 与种植面积 $x (m^{2})$ 之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米100元．

（1）直接写出当 $0 ⩽ x ⩽ 300$ 和 $x > 300$ 时， $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

（2）广场上甲、乙两种花卉的种植面积共 $1200 m^{2}$ ，若甲种花卉的种植面积不少于 $200 m^{2}$ ，且不超过乙种花卉种植面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植总费用最少？最少总费用为多少元？

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $AD$ 平分 $∠ BAC$ 交 $BC$ 于点 $D$ ， $O$ 为 $AB$ 上一点，经过点 $A$ ， $D$ 的 $⊙ O$ 分别交 $AB$ ， $AC$ 于点 $E$ ， $F$ ，连接 $OF$ 交 $AD$ 于点 $G$ ．

（1）求证： $BC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）设 $AB = x$ ， $AF = y$ ，试用含 $x$ ， $y$ 的代数式表示线段 $AD$ 的长；

（3）若 $BE = 8$ ， $\sin B = \frac{5}{13}$ ，求 $DG$ 的长，

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，一次函数 $y = x + b$ 的图象经过点 $A (- 2, 0)$ ，与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象交于 $B (a, 4)$ ．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）设 $M$ 是直线 $AB$ 上一点，过 $M$ 作 $MN / / x$ 轴，交反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象于点 $N$ ，若 $A$ ， $O$ ， $M$ ， $N$ 为顶点的四边形为平行四边形，求点 $M$ 的坐标．