如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$的对称轴为直线 $x=2$，抛物线与 $x$轴交于点 $A$和点 $B$，与 $y$轴交于点 $C$，且点 $A$的坐标为 $(-1,0)$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）将抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$图象 $x$轴下方部分沿 $x$轴向上翻折，保留抛物线在 $x$轴上的点和 $x$轴上方图象，得到的新图象与直线 $y=t$恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为 $D$， $E$， $F$， $G$．当以 $\mathit{EF}$为直径的圆过点 $Q(2,1)$时，求 $t$的值；

（3）在抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$上，当 $m⩽x⩽n$时， $y$的取值范围是 $m⩽y⩽7$，请直接写出 $x$的取值范围．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难

知识点： 二次函数的性质 二次函数图象与几何变换 待定系数法求二次函数解析式 二次函数综合题