今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，-优题课

如图，点B，F，C，E在同一条直线上， $B F ＝ E C$ ， $A B ＝ D E$ ， $∠ B ＝ ∠ E$ ．求证： $∠ A ＝ ∠ D$ ．

在平面直角坐标系xOy中，已知点 $M （ a ， b ）$ ，N．

对于点P给出如下定义：将点P向右 $（ a \geq 0 ）$ 或向左 $（ a ＜ 0 ）$ 平移 $| a |$ 个单位长度，再向上 $（ b \geq 0 ）$ 或向下 $（ b ＜ 0 ）$ 平移 $| b |$ 个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．

（1）如图，点 $M （ 1 ， 1 ）$ ，点N在线段OM的延长线上．若点 $P （ ﹣ 2 ， 0 ）$ ，点Q为点P的“对应点”．

①在图中画出点Q；

②连接PQ，交线段ON于点T，求证： $N T = \frac{1}{2} O M$ ；

（2）⊙O的半径为 $1$ ，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且 $O N ＝ t （ \frac{1}{2} ＜ t ＜ 1 ）$ ，若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．

在△ABC中， $∠ A C B ＝ 90 °$ ，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得 $C E ＝ D C$ ．

（1）如图1，延长BC到点F，使得 $C F ＝ B C$ ，连接AF，EF．若 $A F ⊥ E F$ ，求证： $B D ⊥ A F$ ；

（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2．若 $A B^{2} ＝ A E^{2} + B D^{2}$ ，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $（ 1 ， m ），（ 3 ， n ）$ 在抛物线 $y ＝ a x^{2} + b x + c （ a ＞ 0 ）$ 上，设抛物线的对称轴为直线 $x ＝ t$ ．

（1）当 $c ＝ 2 ， m ＝ n$ 时，求抛物线与 $y$ 轴交点的坐标及 $t$ 的值；

（2）点 $（ x_{0} ， m ）（ x_{0} \neq 1 ）$ 在抛物线上．若 $m ＜ n ＜ c$ ，求 $t$ 的取值范围及 $x_{0}$ 的取值范围．

单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度 $y$ （单位： $m$ ）与水平距离 $x$ （单位： $m$ ）近似满足函数关系 $y ＝ a （ x ﹣ h ）^{2} + k （ a ＜ 0 ）$ ．

某运动员进行了两次训练．

（1）第一次训练时，该运动员的水平距离 $x$ 与竖直高度 $y$ 的几组数据如下：

水平距离 $x / m$	$0$	$2$	$5$	$8$	$11$	$14$
竖直高度 $y / m$	$20.00$	$21.40$	$22.75$	$23.20$	$22.75$	$21.40$

根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系 $y ＝ a （ x ﹣ h ）^{2} + k （ a ＜ 0 ）$ ；

（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度 $y$ 与水平距离 $x$ 近似满足函数关系 $y ＝ ﹣ 0.04 （ x ﹣ 9 ）^{2} + 23.24$ ．记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为 $d_{1}$ ，第二次训练的着陆点的水平距离为 $d_{2}$ ，则 $d_{1}$ ＿＿＿＿＿ $d_{2}$ （填“＞”“＝”或“＜”）．