在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于点A和线段BC-优题课

在平面直角坐标系 $xOy$ 中， $⊙ O$ 的半径为1．对于点 $A$ 和线段 $BC$ ，给出如下定义：若将线段 $BC$ 绕点 $A$ 旋转可以得到 $⊙ O$ 的弦 $B' C' (B'$ ， $C'$ 分别是 $B$ ， $C$ 的对应点），则称线段 $BC$ 是 $⊙ O$ 的以点 $A$ 为中心的“关联线段”．

（1）如图，点 $A$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ ， $B_{2}$ ， $C_{2}$ ， $B_{3}$ ， $C_{3}$ 的横、纵坐标都是整数．在线段 $B_{1} C_{1}$ ， $B_{2} C_{2}$ ， $B_{3} C_{3}$ 中， $⊙ O$ 的以点 $A$ 为中心的“关联线段”是　 $B_{2} C_{2}$ 　；

（2） $ΔABC$ 是边长为1的等边三角形，点 $A (0, t)$ ，其中 $t \neq 0$ ．若 $BC$ 是 $⊙ O$ 的以点 $A$ 为中心的“关联线段”，求 $t$ 的值；

（3）在 $ΔABC$ 中， $AB = 1$ ， $AC = 2$ ．若 $BC$ 是 $⊙ O$ 的以点 $A$ 为中心的“关联线段”，直接写出 $OA$ 的最小值和最大值，以及相应的 $BC$ 长．

科目数学题型解答题难度困难

知识点：坐标与图形性质坐标与图形变化-旋转

如图，点 $E$ 在 $▱ ABCD$ 内部， $AF / / BE$ ， $DF / / CE$ ．

（1）求证： $ΔBCE ≅ ΔADF$ ；

（2）设 $▱ ABCD$ 的面积为 $S$ ，四边形 $AEDF$ 的面积为 $T$ ，求 $\frac{S}{T}$ 的值．

筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心 $O$ 为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦 $AB$ 长为6米， $∠ OAB = 41.3 °$ ，若点 $C$ 为运行轨道的最高点 $(C$ ， $O$ 的连线垂直于 $AB)$ ，求点 $C$ 到弦 $AB$ 所在直线的距离．

（参考数据： $\sin 41.3 ° \approx 0.66$ ， $\cos 41.3 ° \approx 0.75$ ， $\tan 41.3 ° \approx 0.88)$

观察以下等式：

第1个等式： $\frac{2}{1} = \frac{1}{1} + \frac{1}{1}$ ，

第2个等式： $\frac{2}{3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6}$ ，

第3个等式： $\frac{2}{5} = \frac{1}{3} + \frac{1}{15}$ ，

第4个等式： $\frac{2}{7} = \frac{1}{4} + \frac{1}{28}$ ，

第5个等式： $\frac{2}{9} = \frac{1}{5} + \frac{1}{45}$ ，

$\dots \dots$

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第6个等式：　　；

（2）写出你猜想的第 $n$ 个等式：　　（用含 $n$ 的等式表示），并证明．

为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？

如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的 $12 \times 12$ 的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段 $AB$ ．

（1）将线段 $AB$ 向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段 $CD$ ，请画出线段 $CD$ ．

（2）以线段 $CD$ 为一边，作一个菱形 $CDEF$ ，且点 $E$ ， $F$ 也为格点．（作出一个菱形即可）

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