如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOB-优题课

在一次社会调查活动中，小李收集到某“健步走运动”团队20名成员一天行走的步数，记录如下：

5640	6430	6520	6798	7325
8430	8215	7453	7446	6754
7638	6834	7326	6830	8648
8753	9450	9865	7290	7850

对这20个数据按组距1000进行分组，并统计整理，绘制了如下不完整的统计图表，步数分布统计图．

组别	步数分组	频数
$A$	$5500 ⩽ x < 6500$	$m$
$B$	$6500 ⩽ x < 7500$	10
$C$	$7500 ⩽ x < 8500$	4
$D$	$8500 ⩽ x < 9500$	$n$
$E$	$9500 ⩽ x < 10500$	1

根据以上信息解答下列问题：

（1）填空： $m =$ 　　， $n =$ 　　；

（2）请补全条形统计图；

（3）这20名“健步走运动”团队成员一天行走的步数的中位数落在　　组；

（4）若该团队共有200人，请估计其中一天行走步数少于8500步的人数．

如图，在平行四边形 $ABCD$ 中， $BD$ 为对角线， $AE ⊥ BD$ ， $CF ⊥ BD$ ，垂足分别为 $E$ 、 $F$ ，连接 $AF$ 、 $CE$ ．

求证： $AF = CE$ ．

如图，抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点， $B$ 点坐标为 $(3, 0)$ ．与 $y$ 轴交于点 $C (0, 3)$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$ 在 $x$ 轴下方的抛物线上，过点 $P$ 的直线 $y = x + m$ 与直线 $BC$ 交于点 $E$ ，与 $y$ 轴交于点 $F$ ，求 $PE + EF$ 的最大值；

（3）点 $D$ 为抛物线对称轴上一点．

①当 $ΔBCD$ 是以 $BC$ 为直角边的直角三角形时，求点 $D$ 的坐标；

②若 $ΔBCD$ 是锐角三角形，求点 $D$ 的纵坐标的取值范围．

如图1，在平面直角坐标系中，直线 $MN$ 分别与 $x$ 轴、 $y$ 轴交于点 $M (6, 0)$ ， $N (0$ ， $2 \sqrt{3})$ ，等边 $ΔABC$ 的顶点 $B$ 与原点 $O$ 重合， $BC$ 边落在 $x$ 轴正半轴上，点 $A$ 恰好落在线段 $MN$ 上，将等边 $ΔABC$ 从图1的位置沿 $x$ 轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，边 $AB$ ， $AC$ 分别与线段 $MN$ 交于点 $E$ ， $F$ （如图2所示），设 $ΔABC$ 平移的时间为 $t (s)$ ．

（1）等边 $ΔABC$ 的边长为　　；

（2）在运动过程中，当 $t =$ 　　时， $MN$ 垂直平分 $AB$ ；

（3）若在 $ΔABC$ 开始平移的同时．点 $P$ 从 $ΔABC$ 的顶点 $B$ 出发．以每秒2个单位长度的速度沿折线 $BA - AC$ 运动．当点 $P$ 运动到 $C$ 时即停止运动． $ΔABC$ 也随之停止平移．

①当点 $P$ 在线段 $BA$ 上运动时，若 $ΔPEF$ 与 $ΔMNO$ 相似．求 $t$ 的值；

②当点 $P$ 在线段 $AC$ 上运动时，设 $S_{ΔPEF} = S$ ，求 $S$ 与 $t$ 的函数关系式，并求出 $S$ 的最大值及此时点 $P$ 的坐标．

如图， $ΔABC$ 中，以 $BC$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $AB$ 于点 $D$ ， $AE$ 平分 $∠ BAC$ 交 $BC$ 于点 $E$ ，交 $CD$ 于点 $F$ ．且 $CE = CF$ ．

（1）求证：直线 $CA$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $BD = \frac{4}{3} DC$ ，求 $\frac{DF}{CF}$ 的值．