在矩形ABCD中，BC3CD，点E、F分别是边AD、BC上的-优题课

在矩形 $ABCD$ 中， $BC = \sqrt{3} CD$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别是边 $AD$ 、 $BC$ 上的动点，且 $AE = CF$ ，连接 $EF$ ，将矩形 $ABCD$ 沿 $EF$ 折叠，点 $C$ 落在点 $G$ 处，点 $D$ 落在点 $H$ 处．

（1）如图1，当 $EH$ 与线段 $BC$ 交于点 $P$ 时，求证： $PE = PF$ ；

（2）如图2，当点 $P$ 在线段 $CB$ 的延长线上时， $GH$ 交 $AB$ 于点 $M$ ，求证：点 $M$ 在线段 $EF$ 的垂直平分线上；

（3）当 $AB = 5$ 时，在点 $E$ 由点 $A$ 移动到 $AD$ 中点的过程中，计算出点 $G$ 运动的路线长．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：矩形的性质翻折变换（折叠问题）全等三角形的判定与性质弧长的计算

某进口专营店销售一种“特产”，其成本价是20元千克，根据以往的销售情况描出销量（千克天）与售价（元千克）的关系，如图所示．

（1）试求出与之间的一个函数关系式；

（2）利用（1）的结论：

①求每千克售价为多少元时，每天可以获得最大的销售利润．

②进口产品检验、运输等过程需耗时5天，该“特产”最长的保存期为一个月天），若售价不低于30元千克，则一次进货最多只能多少千克？

已知反比例函数的图象经过点．

（1）求该函数的解析式；

（2）若将点沿轴负方向平移3个单位，再沿轴方向平移个单位得到点，使点恰好在该函数的图象上，求的值和点沿轴平移的方向．

近期，我市中小学广泛开展了“传承中华文化，共筑精神家园”爱国主义读书教育活动，某中学为了解学生最喜爱的活动形式，以“我最喜爱的一种活动”为主题，进行随机抽样调查，收集数据整理后，绘制出以下两幅不完整的统计图表，请根据图中提供的信息，解答下面的问题：

最喜爱的一种活动统计表

活动形式	征文	讲故事	演讲	网上竞答	其他
人数	60	30	39

（1）在这次抽样调查中，一共调查了多少名学生？扇形统计图中“讲故事”部分的圆心角是多少度？

（2）如果这所中学共有学生3800名，那么请你估计最喜爱征文活动的学生人数．

、两组卡片共5张，中三张分别写有数字2，4，6，中两张分别写有3，5，它们除数字外没有任何区别．

（1）随机地从中抽取一张，求抽到数字为2的概率；

（2）随机地分别从、中各抽取一张，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果．现制定这样一个游戏规则：若所选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？

如图，、均为等腰直角三角形，，点在上．求证：．