如图，在平面直角坐标系中，抛物线y−x2bxc交x轴于点A和-优题课

题文

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + bx + c$ 交 $x$ 轴于点 $A$ 和 $C (1, 0)$ ，交 $y$ 轴于点 $B (0, 3)$ ，抛物线的对称轴交 $x$ 轴于点 $E$ ，交抛物线于点 $F$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将线段 $OE$ 绕着点 $O$ 沿顺时针方向旋转得到线段 $O E^{'}$ ，旋转角为 $α (0 ° < α < 90 °)$ ，连接 $AE'$ ， $BE'$ ，求 $BE' + \frac{1}{3} AE'$ 的最小值；

（3） $M$ 为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点 $N$ ，使得以 $A$ ， $B$ ， $M$ ， $N$ 为顶点的四边形为矩形？若存在，请写出点 $N$ 的横坐标；若不存在，请说明理由．

科目数学题型解答题难度困难

知识点：二次函数的最值待定系数法求二次函数解析式二次函数综合题

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（1）计算：
（2）化简：

如图，二次函数的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC，动点P以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，动点Q以每秒个单位长度的速度从B向C运动，P、Q同时出发，连接PQ，当点Q到达C点时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t秒．

（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，当△BPQ为直角三角形时，求t的值；
（3）如图2，当时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上是否存在一点N，使得PQ的中点恰为MN的中点？若存在，求出点N的坐标与t的值；若不存在，请说明理由．

如图，已知AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线MA，P为直线MA上一动点，以点P为圆心，PA为半径作⊙P，交⊙O于点C，连接PC、OP、BC．

（1）知识探究（如图1）：
①判断直线PC与⊙O的位置关系，请证明你的结论；
②判断直线OP与BC的位置关系，请证明你的结论．
（2）知识运用（如图2）：当PA＞OA时，直线PC交AB的延长线于点D，若BD=2AB，求tan∠ABC的值．

阅读材料：用配方法求最值．
已知，为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立．
示例：当时，求的最小值．
解：，当，即时，的最小值为6．
（1）尝试：当时，求的最小值．
（2）问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种小轿车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，年的保养、维护费用总和为万元．问这种小轿车使用多少年报废最合算（即：使用多少年的年平均费用最少，年平均费用=）？最少年平均费用为多少万元？