某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为 $20\text{dm}\times 12\text{dm}$的长方形纸，对折1次共可以得到 $10\text{dm}\times 12\text{dm}$， $20\text{dm}\times 6\text{dm}$两种规格的图形，它们的面积之和 $S_1=240\text{d}{\text{m}}^2$，对折2次共可以得到 $5\text{dm}\times 12\text{dm}$， $10\text{dm}\times 6\text{dm}$， $20\text{dm}\times 3\text{dm}$三种规格的图形，它们的面积之和 $S_2=180\text{d}{\text{m}}^2$，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折 $n$次，那么 $\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{S}_k=$______ $\text{d}{\text{m}}^2$.

科目 数学   题型 填空题   难度 中等