如图，点D在以AB为直径的⊙O上，过D作⊙O的切线交AB延长-优题课

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题文

如图，点 $D$ 在以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 上，过 $D$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $AB$ 延长线于点 $C$ ， $AE ⊥ CD$ 于点 $E$ ，交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，连接 $AD$ ， $FD$ ．

（1）求证： $∠ DAE = ∠ DAC$ ；

（2）求证： $DF \cdot AC = AD \cdot DC$ ；

（3）若 $\sin ∠ C = \frac{1}{4}$ ， $AD = 4 \sqrt{10}$ ，求 $EF$ 的长．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：圆周角定理解直角三角形相似三角形的判定与性质切线的性质

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如图。在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中,有线段 $A B$ 和直线 $M N$ ，点 $A 、 B 、 M 、 N$ 均在小正方形的顶点上．

（1）在方格纸中画四边形 $A B C D$ (四边形的各顶点均在小正方形的顶点上)，使四边形 $A B C D$ 是以直线 $M N$ 为对称轴的轴对称图形，点 $A$ 的对称点为点 $D$ ，点 $B$ 的对称点为点 $C$ ；
（2）请直接写出四边形 $A B C D$ 的周长．

先化简，再求代数式的值，其中

如图，抛物线与直线交于C，D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为。点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F.

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由；
（3）若存在点P，使∠PCF=45⁰，请直接写出相应的点P的坐标。

如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90⁰，∠B=∠E=30⁰.

（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转。当点D恰好落在BC边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是；
②设△BDC的面积为S₁，△AEC的面积为S₂。则S₁与S₂的数量关系是。
（2）猜想论证
当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S₁与S₂的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想。
（3）拓展探究
已知∠ABC=60⁰，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，OE∥AB交BC于点E（如图4），若在射线BA上存在点F，使S_△DCF =S_△BDC,请直接写出相应的BF的长

某文具商店销售功能相同的两种品牌的计算器，购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156元；购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元。
（1）求这两种品牌计算器的单价；
（2）学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A品牌计算器按原价的八折销售，B品牌计算器5个以上超出部分按原价的七折销售。设购买个ｘ个A品牌的计算器需要ｙ₁元，购买ｘ个B品牌的计算器需要ｙ₂元，分别求出ｙ₁、ｙ₂关于ｘ的函数关系式；
（3）小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过5个，购买哪种品牌的计算器更合算？请说明理由。

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