拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座A-优题课

题文

拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为 $l$ ，底座 $AB$ 固定，高 $AB$ 为 $50 cm$ ，连杆 $BC$ 长度为 $70 cm$ ，手臂 $CD$ 长度为 $60 cm$ ．点 $B$ ， $C$ 是转动点，且 $AB$ ， $BC$ 与 $CD$ 始终在同一平面内．

（1）转动连杆 $BC$ ，手臂 $CD$ ，使 $∠ ABC = 143 °$ ， $CD / / l$ ，如图2，求手臂端点 $D$ 离操作台 $l$ 的高度 $DE$ 的长（精确到 $1 cm$ ，参考数据： $\sin 53 ° \approx 0.8$ ， $\cos 53 ° \approx 0.6)$ ．

（2）物品在操作台 $l$ 上，距离底座 $A$ 端 $110 cm$ 的点 $M$ 处，转动连杆 $BC$ ，手臂 $CD$ ，手臂端点 $D$ 能否碰到点 $M$ ？请说明理由．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：解直角三角形的应用

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（年山东莱芜10分）如图1，在⊙O中，E是弧AB的中点，C为⊙O上的一动点（C与E在AB异侧），连接EC交AB于点F，EB=（r是⊙O的半径）．

（1）D为AB延长线上一点，若DC=DF，证明：直线DC与⊙O相切；
（2）求EF•EC的值；
（3）如图2，当F是AB的四等分点时，求EC的值．

（2014年山东济南9分）如图1，有一组平行线∥∥∥，正方形ABCD的四个顶点分别在上，EG过点Ｄ且垂直于于点Ｅ，分别交于点Ｆ，Ｇ，．
（1）AE= ，正方形ABCD的边长＝；
（2）如图2，将∠AEG绕点A顺时针旋转得到，旋转角为，点在直线上，以为边在的左侧作菱形，使点分别在直线上．
①写出与的函数关系并给出证明；
②若，求菱形的边长．

（年辽宁营口14分）四边形ABCD是正方形，AC与BD，相交于点O，点E、F是直线AD上两动点，且AE=DF，CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G，连接AG，直线AG交BE于点H．
（1）如图1，当点E、F在线段AD上时，①求证：∠DAG=∠DCG；②猜想AG与BE的位置关系，并加以证明；
（2）如图2，在（1）条件下，连接HO，试说明HO平分∠BHG；
（3）当点E、F运动到如图3所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接写出∠BHO的度数．

（年辽宁盘锦14分）已知，四边形ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线AD上（P、G不与正方形顶点重合，且在CD的同侧），PD=PG，DF⊥PG于点H，交直线AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连结EF．

（1）如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时．
①求证：DG=2PC；
②求证：四边形PEFD是菱形；
（2）如图2，当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时，请猜想四边形PEFD是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．

（年辽宁锦州12分）（1）已知正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如图①，将△BOC绕点O逆时针方向旋转得到△B′OC′，OC′与CD交于点M，OB′与BC交于点N，请猜想线段CM与BN的数量关系，并证明你的猜想．
（2）如图②，将（1）中的△BOC绕点B逆时针旋转得到△BO′C′，连接AO′、DC′，请猜想线段AO′与DC′的数量关系，并证明你的猜想．
（3）如图③，已知矩形ABCD和Rt△AEF有公共点A，且∠AEF=90°，∠EAF=∠DAC=α，连接DE、CF，请求出的值（用α的三角函数表示）．

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