如图，矩形ABCD中，AB4，点E是边AD的中点，点F是对角-优题课

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题文

如图，矩形 $ABCD$ 中， $AB = 4$ ，点 $E$ 是边 $AD$ 的中点，点 $F$ 是对角线 $BD$ 上一动点， $∠ ADB = 30 °$ ．连结 $EF$ ，作点 $D$ 关于直线 $EF$ 的对称点 $P$ ．

（1）若 $EF ⊥ BD$ ，求 $DF$ 的长；

（2）若 $PE ⊥ BD$ ，求 $DF$ 的长；

（3）直线 $PE$ 交 $BD$ 于点 $Q$ ，若 $ΔDEQ$ 是锐角三角形，求 $DF$ 长的取值范围．

科目数学题型解答题难度困难

知识点：矩形的性质等腰三角形的性质直角三角形的性质等腰直角三角形

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（本小题满分8分）
（1）解不等式组：；
（2）解方程：.

（本小题满分8分）
（1）；
（2）化简：.

如图，若二次函数的图像过点A（－1，0），C（0，），与x轴的另一交点为B，D为顶点．

（1）求m、n的值及B、D两点的坐标；
（2）若二次函数的图像的对称轴与x轴的交点为P，在线段BC上找一点Q，使得以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，请求出所有符合条件的点Q坐标；
（3）将△ABC沿x轴向右平移t个单位长度（0<t<6），设平移后的△ABC与△PBD重叠的面积为S，请直接写出S 与t的函数关系式．

已知，直线AP是过正方形ABCD顶点A的任一条直线（不过B、C、D三点），点B关于直线AP的对称点为E，连结AE、BE、DE，直线DE交直线AP于点F．

（1）如图1，直线AP与边BC相交．
①若∠PAB=20°，则∠ADF=°，∠BEF=°；
②请用等式表示线段AB、DF、EF之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，直线AP在正方形ABCD的外部，且，，求线段AF的长．

如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O外一点，连结CO并延长交⊙O于点D、E，连结BD并延长交AC于点F，连结AD，∠DAF=∠B．

（1）求证：CA是⊙O的切线；
（2）若AB=6，CA=4，求CD的长；
（3）在（2）的条件下，求tan∠CDF的值．

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